Doraemonzzz

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE364A 最近开始学习凸优化，公开课为斯坦福的凸优化公开课，主页如下。这次回顾凸优化第一第二讲，这部分介绍了凸集的概念。 Lecture 1 Introduction主要介绍凸优化的历史和应用，这里从略。 Lecture 2 Convex sets仿射集穿过$x_1,x_2$的直线可以表示为 x=\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2} \quad(\theta \in \mathbf{R})仿射集：包含过集合中任意两点的直线的集合。 例子： \{x | A x=b\}凸集过$x_1, x_2$的线段可以表示为 x=\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2}其中$0\le \theta \le 1$ 凸集：包含过集合中任意两点的线段的集合，即 x_{1}, x_{2} \in C, \quad 0 \leq \theta \leq 1 \quad \Longrightarrow \quad \theta x_{1}+(1-\theta) x_{2} \in C凸组合 ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第三十讲，这一讲介绍了二维傅里叶变换的应用以及拉东变换。 I=I_{0} \exp \left(-\int_{L} \mu\left(x_{1}, x_{2}\right) d s\right)考虑X光的问题，公式如上。$I_0$为初始强度，$I$为测量强度，$L$为线段，现在的任务是已知$I$，如何恢复$\mu(x_1, x_2)$，从上式中可以看出，实际我们的任务是已知如下线积分，然后恢复原函数。 \int_{L} \mu\left(x_{1}, x_{2}\right) d s拉东变换由于要计算线积分，这里首先讨论直线的表示方法，如下图所示，直线可以由角度$\phi$以及有向距离$\rho$表示。 当$\phi $固定，$\rho $变动时表示的是一族平行线；当$\rho $固定，$\phi$变动时表示的过原点的切线。 该坐标系和直角坐标系的变换关系为： \rho=\mathrm{x} \cdot \mathrm{n}=\left(x_{1}, x_{2}\right) \cd ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE263 这次回顾第十九讲，这一讲结束了可控性和状态转移，介绍了可观测性和状态观测。 无限时间的最小能量矩阵 P=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{t} e^{\tau A} B B^{T} e^{\tau A^{T}} d \tau\right)^{-1}总存在，并且给出了到达$x_{\mathrm{des}}$所需最小能量（对$t$没有约束的情形下） \min \left\{\int_{0}^{t}\|u(\tau)\|^{2} d \tau | x(0)=0, x(t)=x_{\mathrm{des}}\right\}=x_{\mathrm{des}}^{T} P x_{\mathrm{des}} 如果$A$稳定，那么$P>0$（即，无法免费到达任何地方） 如果$A$不稳定，那么$P$可能有非平凡零空间 $Pz=0,z\neq 0$说明可以用能量为任意小的$u$到达$z$ 一般的状态转移考虑将将$x\left(t_{i}\right)$转 ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第二十九讲，这一讲介绍了高维$\text{III}$函数。 回顾$\text{III}$函数： \text{III}_{p}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k p)这里对上述内容进行推广。 二维$\text{III}$二维$\text{III}$函数为 \text{III}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\sum_{k_{1}, k_{2}=-\infty}^{\infty} \delta\left(x_{1}-k_{1}, x_{2}-k_{2}\right)定义 \begin{aligned} \mathbf{e}_{1}&=(1,0)\\ \mathbf{e}_{2}&=(0,1) \\ \mathbf{k}&=k_{1} \mathbf{e}_{1}+k_{2} \mathbf{e}_{2} \end{aligned}那么$\text{III}$函数可以简写为 \text{III}_{\mathbf{Z}^{2 ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第二十八讲，这一讲介绍了高维傅里叶变换的性质以及高维傅里叶序列。 性质线性性 \mathcal{F}(\alpha f+\beta g)(\xi)=\alpha \mathcal{F} f(\xi)+\beta \mathcal{F} g(\xi)平移性 如果$f(\mathrm{x}) \rightleftharpoons F(\xi)$，那么$f(\mathbf{x} \pm \mathbf{b}) \rightleftharpoons e^{ \pm 2 \pi i \mathbf{b} \cdot \xi} F({\xi})$ 以二维情形证明该结论： \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i\left(x_{1} \xi_{1}+x_{2} \xi_{2}\right)} f\left(x_{1}+b_{1}, x_{2}+b_{2}\right) d x_{1} d ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾Problem Set 6。 Problem 1只要没有重合即可，考虑如下两种极限情形： 所以结果为 B_2

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾Problem Set 5。 Problem 1(a)注意到 \mathcal F \Lambda = \text{sinc}^2所以 \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}^{4}(t) d t &= \int_{-\infty}^{\infty} (\mathcal F \Lambda (t))^2 dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \Lambda ^2 (s) ds\\ &= 2 \int_{0}^{1} (1-s)^2 ds\\ &=\frac 2 3 \end{aligned}(b)设 g(t)=e^{-a|t|}那么 \mathcal F g(s) =\frac{2 a}{a^{2}+4 \pi^{2} s^{2}}如果$a=1$，那么 \mathcal F g(s) =\frac{2}{1+4 \pi^{2} s^{2}}另一方面，我们有 \ma ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE263 这次回顾第十九讲，这一讲介绍了可控性和状态转移。 可控性系统系统被称为可达或可控，如果所有状态可达（即$\mathcal R = \mathbb R^n$） 系统为可达当且仅当$\operatorname{Rank}(\mathcal{C})=n$，注意 \mathcal{C}=\left[\begin{array}{llll}{B} & {A B} & {\cdots} & {A^{n-1} B}\end{array}\right]例子： x(t+1)=\left[\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {1} & {0}\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{c}{1} \\ {1}\end{array}\right] u(t)控制矩阵为 \mathcal{C}=\left[\begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {1} & {1}\end{array}\right]可达集合为 \mathcal{R} ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾Problem Set 4。 Problem 1(a)$f \star g$很大说明$g$平移后和$f$很接近；很小说明不接近；正表示平移后增长趋势接近；负表示平移后增长趋势不同 (b)首先 \begin{aligned} (f \star g)(x) &=\int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x+y) d y \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f^{-}(-y) g(x+y) d y \\ &= (f^{-} * g)(x) \end{aligned}另一方面 \begin{aligned} (f \star g)(x) &=\int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x+y) d y \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g^{-}(-x-y) d y \\ &= \left(f * g^{-}\right)(-x)\\ &=\left(f * g^{-}\right)^{-}(x) ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第二十六讲，二十七讲，这一讲介绍了高维傅里叶变换。 记号这部分讨论高维傅里叶变换，为了和一维形式接近，首先引入一些记号： \begin{aligned} \mathbf{x}&=\left(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\right)\\ \xi&=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n}\right)\\ -\xi&=\left(-\xi_{1}, \ldots,-\xi_{n}\right)\\ \mathrm{x} \cdot \xi&=x_{1} \xi_{1}+x_{2} \xi_{2}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \end{aligned}傅里叶变换利用上述集合，定义傅里叶变换及其逆变换： \begin{aligned} \mathcal{F} f(\boldsymbol{\xi})&=\int_{\mathbf{R}^{n}} e^{-2 \pi i \mathbf{x} \cdot \xi} f( ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第二十五讲，这一讲介绍了线性系统的特征函数。 LTI系统的傅里叶变换LTI系统可以表示为 w(t)=(h * v)(t)取傅里叶变换可得 W(s)=H(s) V(s)特征函数这部分讨论LTI的特征函数，考虑$L\left(e^{2 \pi i \nu t}\right)$，计算其傅里叶变换得到（其中$L$表示线性系统）： \begin{aligned} W(s) &=H(s) \mathcal{F}\left(e^{2 \pi i \nu t}\right) \\ &=H(s) \delta(s-\nu) \\ &=H(\nu) \delta(s-\nu) \end{aligned}取傅里叶逆变换得到 L\left(e^{2 \pi i \nu t}\right)=H(\nu) e^{2 \pi i \nu t}这说明$e^{2 \pi i \nu t}$是该系统的特征函数。 离散情形假设离散LTI可以表示为 \mathbf{w}=L \mathbf{v}=\mathbf{h} * ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第二十三，二十四讲，这一讲介绍了线性系统。 线性系统这里的系统是信号到信号的映射，即 w(t)=L(v(t))线性系统是指满足如下条件的系统 \begin{aligned} L\left(v_{1}(t)+v_{2}(t)\right) &=L\left(v_{1}(t)\right)+L\left(v_{2}(t)\right) \\ L(\alpha v(t)) &=\alpha L(v(t)) \end{aligned}特别的，取$\alpha =0$，我们有 L(0)=L(0 \cdot 0)=0 \cdot L(0)=0例子离散情形考虑矩阵运算 \mathbf{w}=A \mathbf{v}其中$\mathbf{v} \in \mathbf{R}^{n}, \mathbf{w} \in \mathbf{R}^{m},A\in \mathbf R^{m\times n}$，写成分量的形式为 \mathbf{w}[i]=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \math ...