EE261 Lecture 17 and Lecture 18
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这次回顾第十七讲,十八讲,这两讲介绍了采样。
周期分布和傅里叶级数我们称一个分部周期为$p$,如果
\tau_{p} S=S所以
\tau_{p} \text{III}_{p}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \tau_{p} \delta_{k p}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{k p+p}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{p(k+1)}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{k p}=\text{III}_{p}注意到周期化函数使用了$\text{III}$的卷积:
\Phi(x)=\left(\varphi * \text{III}_{p}\right)(x)更一般的,假设$f$的周期为$p$,那么
(f * g)(x+p)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x+p-y) g(y) d y=\int_{-\infty}^{\infty} f(x ...
EE364A Lecture 3 and Lecture 4
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这次回顾凸优化第三,第四讲,这部分介绍了凸函数的概念。
Lecture 3 and Lecture 4 Convex functions定义$f : \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}$是凸函数,如果$\operatorname{dom} f$是凸集,并且
f(\theta x+(1-\theta) y) \leq \theta f(x)+(1-\theta) f(y)对任意$x, y \in \operatorname{dom} f, 0 \leq \theta \leq 1$都成立,图示如下
$f$是凹的,如果$-f$是凸的
$f$是严格凸的,如果$\operatorname{dom} f$是凸的,并且
f(\theta x+(1-\theta) y)
EE261 Lecture 16
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这次回顾第十六讲,这一讲介绍了shah函数。
这部分从X射线的波长测量开始,由于X射线的波长很短,无法用衍射现象测量,后来人们借助晶体来测量,晶体具有周期性,其电子密度可以写成
\rho_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x-k p)注意到
\rho_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x-p k)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p) * \rho(x)=\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p)\right) * \rho(x)引入如下记号
\text{III}_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p)所以我们有
\rho_{p}=\text{III}_{p} * \rho我们称$\text{III}_p$为shah函数,也称为Dirac comb函数,其中$p$为间 ...
EE261 Lecture 15
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这次回顾第十五讲,这一讲介绍了傅里叶分析对于衍射现象的解释。
这部分讨论夫琅禾费衍射,其现象如下图
实验形式如下
假设Aperture plane一点距离P的距离为$r$。
这里主要的疑惑点是为什么明暗条纹不等间隔,注意明暗条纹对应于能量,这里假设能量场为
E=E_{0} e^{2 \pi i \nu t}注意从Aperture plane到Image plane的周期数量为$\frac r\lambda$,所以
d E=E_{0} e^{2 \pi i \nu t} e^{2 \pi i r / \lambda} d x所以Image plane的电场为
E=\int_{\text { apertures }} E_{0} e^{2 \pi i \nu t} e^{2 \pi i r / \lambda} d x=E_{0} e^{2 \pi i \nu t} \int_{\text { apertures }} e^{2 \pi i r / \lambda} d x考虑下图
在夫琅禾 ...
EE261 Lecture 14
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这次回顾第十四讲,这一讲介绍分布的傅里叶变换的性质。
导数定理回顾函数的傅里叶变换的导数公式
f^{\prime}(t) \rightleftharpoons 2 \pi i s F(s) \quad \text { and } \quad-2 \pi i t f(t) \rightleftharpoons F^{\prime}(s)其中
f(t) \rightleftharpoons F(s)现在考虑分布的情形:
\begin{aligned}
\left\langle\mathcal{F} T^{\prime}, \varphi\right\rangle
&=\left\langle T^{\prime}, \mathcal{F} \varphi\right\rangle\\
&=-\left\langle T,(\mathcal{F} \varphi)^{\prime}\right\rangle \\ &=-\langle T, \mathcal{F}(-2 \pi i s \varp ...
EE261 Problem Set 3
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这次回顾Problem Set 3。
Problem 1因为
\mathcal{F} f(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t所以
\begin{aligned}
W_{\mathcal Ff}
&=\frac{1}{\mathcal{F} f(0)} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F} f(s) d s\\
&=\frac 1 {\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t}
\mathcal F(\mathcal F f)(0)\\
&= \frac 1 {\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t}
f^{-}(0)\\
&= \frac 1 {\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t}
f(0)\\
&=\frac 1 {W_f}
\end{aligned}Problem 2因为
\sin c(x) =\frac ...
EE261 Lecture 13
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这次回顾第十三讲,这一讲开始引入分布的傅里叶变换。
分布的傅里叶变换现在考虑分布的傅里叶变换
\langle\mathcal{F} \psi, \varphi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F} \psi(x) \varphi(x) d x假设积分都存在,由定义,我们有
\begin{aligned}
\langle\mathcal{F} \psi, \varphi\rangle
&=\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F} \psi(x) \varphi(x) d x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i x y} \psi(y) d y\right) \varphi(x) d x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i ...
EE261 Lecture 12
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这次回顾第十二讲,这一讲对傅里叶变换加以推广。
上一讲定义了快速递减函数集$\mathcal S$,现在考虑作用在其上广义函数(也称为缓增分布(tempered distributions))$\mathcal T$。有两种视角看待增缓分布,分别如下
将增缓分布定义为$\mathcal S$中函数的极限
根据对$\mathcal S$中函数操作定义增缓分布
将分布视为极限考虑高斯函数
g(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} e^{-x^{2} / 2 t}, \quad t>0将$\delta$函数视为上式的极限
\delta(x)=\lim _{t \rightarrow 0} g(x, t)现在考虑分布对应函数的操作
\langle g(x, t), \varphi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} g(x, t) \varphi(x) d x利用泰勒展开不难得到
\lim _{t \rightarrow 0} \int_{-\i ...
Probability, Unit 4 Discrete random variables
这次回顾第四单元,这一讲介绍了离散随机变量。
课程主页:https://ocw.mit.edu/resources/res-6-012-introduction-to-probability-spring-2018/index.htm
edx版本:https://www.edx.org/course/probability-the-science-of-uncertainty-and-data-0
Part 1:课程回顾常见随机变量伯努利随机变量
X=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { w.p. } p} \\ {0,} & {\text { w.p. } 1-p}\end{array}\right.其中$p \in[0,1]$。期望和方差为
\begin{aligned}
\mathbf E[X]&= p\\
\operatorname{var}(X)&=p(1-p)
\end{aligned}离散均匀随机变量给定整数$a\le b$,样本空间为$\{a, a+1, \ldots, b\}$,随机变量$X(\omega)=\omega$ ...
Probability, Unit 3 Counting
这次回顾第四讲,这一讲的内容比较简单,主要内容计数。
课程主页:https://ocw.mit.edu/resources/res-6-012-introduction-to-probability-spring-2018/index.htm
edx版本:https://www.edx.org/course/probability-the-science-of-uncertainty-and-data-0
Part 1:课程回顾乘法原理假设做一件事情有$r$个阶段,第$i$个阶段有$n_i$个选择,那么总共的选择数量为
\prod_{i=1}^r n_i利用乘法原理可以得到如下常用计数
排列数$n$个对象中取$k$个的排列数:
\frac{n !}{(n-k)!}组合数$n$个对象中取$k$个对象的组合数:
\binom n k =\frac{n!}{k! (n-k)!}分割数将$n$个对象分成$r$个组的分割数,其中第$i$个组有$n_i$个对象:
\left(\begin{array}{c}{n} \\ {n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{r}}\end{ ...
EE261 Lecture 11
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这次回顾第十一讲,这一讲对傅里叶变换加以推广。
我们之前讨论的傅里叶变换假设了
\|f\|_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)| d t < \infty但是这个条件太苛刻,例如如下积分不存在
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} \cos 2 \pi t d t从而$\cos (2\pi t)$不存在傅里叶变换,后续几讲的内容要对上述条件加以推广,一个基本的想法是,找到一个集合$\mathcal S$,使得该集合中的函数的傅里叶变换仍然属于$\mathcal S$,后面将引入引入这个集合。
快速递减函数我们这里讨论的$\mathcal S $为快速递减函数集合。
我们称函数$f(x)$在$\pm \infty$快速递减,如果
$f(x)$无穷次可微
对所有可能的正整数$m, n$,
\left|x^{m} \frac{d^{n}}{d x^{n}} f(x)\right| \rightarrow 0 \quad ...
EE261 Lecture 10
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这次回顾第十讲,这一讲完成了卷积部分的内容。
另一种热方程依旧考虑热方程
u_{t}=\frac{1}{2} u_{x x}这里的初值条件为
u(0, t)=f(t)这里我们假设
u(x,0)=0另一方面,我们假设
u(x,t)=0, x