EE261 Lecture 13

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这次回顾第十三讲,这一讲开始引入分布的傅里叶变换。

分布的傅里叶变换

现在考虑分布的傅里叶变换

假设积分都存在,由定义,我们有

所以

上式即为分布的傅里叶变换的定义。

类似的,定义傅里叶逆变换为

在上述定义下,我们有

下面验证第一个等式

在上述定义下,我们依然有傅里叶变换的线性性

证明直接由定义即可

$1$和$\delta $的傅里叶变换

现在考虑$\delta $的傅里叶变换,我们有

注意到我们有

另一方面

所以结论得证。

接着考虑$1$的傅里叶变换,我们有

由定义可得

考虑$ \mathcal{F} \varphi$的傅里叶逆变换在$0$的值,

所以

$e^{2 \pi i x a}$和$\delta_a$的傅里叶变换

考虑$\delta_a$定义的傅里叶变换,其中$\delta_a $的定义为

我们有

接着考虑$e^{2 \pi i x a}$的傅里叶变换,结论为

这是因为

最后一项可以看成$\mathcal F \varphi$的傅里叶逆变换在$a$处的值,所以

从而结论成立。

$\sin$和$\cos$的傅里叶变换

利用$\delta_a$的傅里叶变换,我们可得

反之,

微分运算

假设

那么

结合速降函数性质,我们由此给出分布函数导数的定义

显然导数的线性性满足,这里不再复述。

单位跃迁函数的导数

考虑单位跃迁函数

那么

考虑其导数,我们得到

从而

单位坡道(ramp)函数的导数

考虑单位坡道函数

计算其导数可得

所以

$\text{sign}$函数的导数

考虑$\text{sign}$函数

计算其导数得到

$\delta$函数的导数

包含经典傅里叶变换的广义傅里叶变换

考虑$\mathcal F_f$定义的增缓分布,

根据傅里叶变换的定义,我们有

所以

对偶性

回顾对偶性

回顾之前的记号

利用上述记号,之前的结论变成

利用后两个结论可得

推广

现在考虑增缓分布的情形

接着定义$(T_f)^-$

所以

一般的,假设$T$是分布,根据下式定义reversed distribution

性质

所以

同理可得

再看几个例子

所以

最后,我们有

对上述两式分别作用$\mathcal F, \mathcal F^{-}$可得

奇偶分布

我们称分布$T$是偶分布,如果$T^-=T$;奇分布如果$T^-=-T$

注意到$f(x)$决定了分布$T_f$,分布的奇偶性和$f$相同:

偶分布的例子

$\delta $是偶分布

上述事实可以推导

推导如下

傅里叶变换的奇偶性

傅里叶变换产生的分布的奇偶性和原分布相同,这是因为

$\sin c$的傅里叶变换

函数和分布相乘

考虑函数和分布相乘决定的分布

由此引入定义:

假设$T$是分布,$g$是速降函数,那么分布$gT$定义为

函数乘以$\delta $

因此

特别的,我们有

类似的,我们证明

这是因为

对于函数乘以$\delta$,给出更强的结论:

  • 如果$T$是分布,$xT=0$,那么$T=c\delta$

首先,我们有

特别的,如果$\psi(0)=1$,那么

现在上述事实证明之前的结论。

假设$xT=0$,那么

固定函数$\varphi_0$,其满足$\varphi_0(0)=1$,那么

利用恒等式,我们可得

这意味着

那么

因此

本文标题:EE261 Lecture 13

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月16日 - 11:48:00

最后更新:2019年07月16日 - 12:02:57

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