EE261 Lecture 12

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这次回顾第十二讲,这一讲对傅里叶变换加以推广。

上一讲定义了快速递减函数集$\mathcal S$,现在考虑作用在其上广义函数(也称为缓增分布(tempered distributions))$\mathcal T$。有两种视角看待增缓分布,分别如下

  1. 将增缓分布定义为$\mathcal S$中函数的极限
  2. 根据对$\mathcal S$中函数操作定义增缓分布

将分布视为极限

考虑高斯函数

将$\delta$函数视为上式的极限

现在考虑分布对应函数的操作

利用泰勒展开不难得到

从而

注意到$\delta $函数的性质如下:

  • $\delta(x)=0 \text { for } x \neq 0$
  • $\delta(0)=\infty$
  • $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) d x=1$

而这与$g(x,t)$的极限情形相对应:

  • $\lim _{t \rightarrow 0} g(x, t)=0 \text { if } x \neq 0$
  • $\lim _{t \rightarrow 0} g(0, t)=\infty$
  • $\int_{-\infty}^{\infty} g(x, t) d x=1$

将分布视为线性泛函

另一种视角是直接考虑分布的作用,例如$\delta $的作用为

完整的定义如下:

增缓分布:增缓分布$T$为定义在$\mathcal S$(测试函数)上的复值连续线性泛函。我们将$T$构成的集合表示为$\mathcal T$。

利用定义我们可得:

  1. 如果$\varphi$属于$\mathcal S $,那么$T(\varphi)$是复数。我们常用$\langle T, \varphi\rangle$表示$T$作用在$\varphi $上

  2. 增缓分布为作用在测试函数上的线性算子:

    另一种记号为

  3. 增缓分布连续:如果$\varphi_n $是$\mathcal S $中的序列,并且$\varphi_n \to \varphi, \varphi\in \mathcal S$,那么

注意到,$T_1,T_2$相等,当且仅当它们作用在所有测试函数的结果相等:

函数诱导的分布

假设函数$f(x)$使得

对所有$\varphi (x)\in \mathcal S$都存在,那么$f$由如下公式决定了分布$T_f$

现在检验该分布是否满足定义。

性质2:

性质3:

唯一性:

如果$T_{f_{1}}=T_{f_{2}}$,那么是否有$f_1=f_2$?答案是肯定的,原因如下

由一一对应性,我们也用如下记号表示分布

例子

现在将$\delta $看成增缓分布:

线性性:

连续性:如果$\varphi_{n}(x) \rightarrow \varphi(x)$,那么

分布的极限

假设$T_n$是增缓分布的序列,$\left\langle T_{n}, \varphi\right\rangle$对每个$\varphi \in \mathcal S$都成立。那么$T_n$收敛到增缓分布$T$,并且

来看一个具体的例子,考虑方波

那么

所以

所以方波的极限为$\delta $函数。

更一般的,如果函数$f(x)$满足

那么

本文标题:EE261 Lecture 12

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月10日 - 20:54:00

最后更新:2019年07月10日 - 20:58:09

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