EE261 Problem Set 3

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这次回顾Problem Set 3。

Problem 1

因为

所以

Problem 2

因为

所以图像中的函数为

其傅里叶变换为

Problem 3

(a)

所以

(b)

所以

(c)

所以

(d)

所以

(e)

所以

(f)

所以

Problem 4

(a)因为

所以如果$0<t<a$,那么

如果$-a<t<0$,那么

其余情形都有

所以

(b)因为

即$(f * f) (t)$是偶函数,所以只需讨论$t\ge 0$的情形。

如果$t\ge 0$,那么

利用对称性可得当$t<0$时,

因此

(c)

(e)推广:

Problem 5

(a)

所以

另一方面

所以

(b)

等式的含义为位移函数的卷积等于卷积的位移。

只需证明$f$的周期为$T$的情形:

(c)

所以

另一方面

所以

Problem 6

首先计算卷积

所以上述积分并不存在,上述例子说明两个周期函数的卷积并不存在。

Problem 7

(a)

代码如下:

1
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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X = np.ones(6) / 6
Y = np.array([1, 1, 2, 2, 3, 3]) / 12
Z = np.array([4, 3, 2, 1, 1, 1]) / 12
data = np.arange(1, 7)
N = 6

####(a)
def P(n):
p = 0
for i in range(N):
for j in range(N):
for k in range(N):
if i + j + k + 3 == n:
p += X[i] * Y[j] * Z[k]

return p

res = [7, 8, 12]
p = 0
for n in res:
p += P(n)
print(p)
1
0.2997685185185185

(b)注意到

由大数定律可得

(c)代码如下:

1
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####(c)
def Print(n, M=100000):
x = np.random.choice(data, p=X, size=(M, n))
y = np.random.choice(data, p=Y, size=(M, n))
z = np.random.choice(data, p=Z, size=(M, n))

res = np.mean(x + y + z, axis=1) / 3
plt.hist(res)
plt.title("N={}".format(n))
plt.show()

N = [2, 10, 100, 1000]
for n in N:
Print(n)

本文标题:EE261 Problem Set 3

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月16日 - 12:32:00

最后更新:2019年07月16日 - 12:32:09

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