EE261 Lecture 14

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这次回顾第十四讲,这一讲介绍分布的傅里叶变换的性质。

导数定理

回顾函数的傅里叶变换的导数公式

其中

现在考虑分布的情形:

所以

类似的,我们有

所以

例子

考虑$\text{sign}’$

另一方面,由导数公式可得

因此

实际上我们有更强的结论,原因如下。

注意到如果$sT=0$,那么

由之前结论可得

因此

但一般情形下,我们主要使用

对上式两边取傅里叶变换可得

因为

所以

平移

首先给出如下记号

因为

我们按如下方式定义$\tau_b T$

来看一个具体例子

所以

接着讨论平移定理

平移定理

证明:

首先

其次

所以

所以

可以利用该定理推导$\mathcal F \delta_a$:

伸缩

定义

注意到

我们按如下方式定义$\sigma_a T$

对$\delta$伸缩:

所以

接着讨论伸缩定理

伸缩定理

证明:

首先

其次

所以

卷积

首先考虑如下事实

由此给出分布$T$和测试函数$\psi$的卷积的定义

首先讨论$\delta$函数的卷积,结论如下

证明

接着介绍卷积定理:

卷积定理

证明:

结论1:

从而

结论2:

所以

分布的卷积可以参考课本193页,这里只给出定义

例1

证明:

例2

证明:

卷积的导数

注意到我们有

上式说明卷积可以让函数变得更光滑。

更一般的,我们有

特别的,我们有

$\delta $函数

$\delta$函数有如下性质

更一般的,我们有

滤波

这一部分对之前介绍的滤波进行补充。

低滤波

频域

时域

高滤波

频域

时域

假设输入为$v(t)$,那么

Notch滤波

频域

时域

假设输入为$v(t)$,那么

本文标题:EE261 Lecture 14

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月17日 - 20:35:00

最后更新:2019年07月17日 - 20:47:17

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