EE261 Lecture 20 and Lecture 21

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这次回顾第二十,二十一讲,这一讲介绍离散傅里叶变换的一些性质。

周期性

回顾DFT

注意到我们有

所以

所以$\mathbf F$可以延拓为周期为$N$的函数,从而我们有如下假设:

  • 我们总是假设$\mathbf F$为周期为$N$的函数

类似的,我们还做出如下假设:

  • 我们总是假设$\mathbf f$为周期为$N$的函数

利用周期性,我们不难得到

常见函数的DFT

离散$\delta$

定义

其中第$k$个元素为$1$,那么我们有

周期化$\delta_k $得到

对$\delta_k $取离散傅里叶变换可得

特别的

利用上述事实,我们得到

复指数的正交性

考虑

我们有

原因如下:

其中倒数第二个等式是因为当$k\neq 0$时,

当$k=0$时,

复指数的DFT

考虑$\omega^k$的DFT

第$\ell$个元素为

反向信号和其DFT

定义

利用$\mathbf f$周期为$N$,我们有

不难验证反向运算有如下性质

对于$\delta_k $,我们有

特别的

利用上式记号,我们可得

接着讨论$\omega^{-}$,首先我们有

利用

因此

同理可得

现在利用上式事实计算$\mathcal{F} \mathrm{f}^{-}$,实际上我们有

利用上述事实,我们有

现在对

作用快速傅里叶变换,我们有

将上式性质总结如下:

  • $\underline{\mathcal{F} } \mathrm{f}^{-}=(\underline{\mathcal{F} } \mathrm{f})^{-}$
  • $\underline{\mathcal{F} } \mathcal{F} \mathrm{f}=N \mathrm{f}^{-}$

逆DFT

定义逆DFT为

我们来验证其合理性。

首先有

利用上式,我们可得

将逆变换写成分量形式得到

矩阵形式的逆DFT

利用复指数的正交性,不难得到

所以

傅里叶逆变换的矩阵形式即为

本文标题:EE261 Lecture 20 and Lecture 21

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月27日 - 20:40:00

最后更新:2019年07月27日 - 20:55:37

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