EE261 Lecture 19

课程主页:https://see.stanford.edu/Course/EE261

这次回顾第十九讲,这一讲引入离散傅里叶变换。

引入

离散傅里叶变换的想法如下:

  • 找到离散版本的$f(t)$作为$f(t)$的合理近似
  • 找到离散版本的$\mathcal F f(s)$作为$\mathcal F f(s)$的合理近似

假设$f(t)$在$[0, L]$以外为$0$,$\mathcal F f(s)$在$[0, 2B]$以外为$0$,根据采样定理,我们需要在时域按照$1/ 2B$间隔采样,总共的点数为

采样点为

根据采样定理,知道上述点即可知道$f(t)$,所以我们可以说

  • $f(t)$的离散版本为采样点$f\left(t_{0}\right), f\left(t_{1}\right), \ldots, f\left(t_{N-1}\right)$

现在借助$\text{III}$函数:

我们得到

取傅里叶变换可得

接着从频域角度考虑,根据采样定理,我们需要在时域按照$1/ L$间隔采样,总共的点数为

采样点为

注意离散版本的$\mathcal F f(s)$不是$\mathcal F f(s)$在采样点$s_m$的值,而是$\mathcal{F} f_{\text {discrete}}(s)$在$s_m$的值:

为什么上式可以看出傅里叶变换的近似呢?考虑定义

利用积分的定义,我们有

所以在不考虑常数因子的条件下,上式为傅里叶变换的近似。

离散傅里叶变换(DFT)

现在将上述讨论总结,首先假设给定$N$元组

那么如下$N$元组为其离散傅里叶变换

其中

一些记号

为了后续讨论,这里引入一些记号,考虑

定义

定义

不难看出

DFT的向量形式

在上述记号下,不难得到

这是因为

特别的,取$m=0$得到

DFT的矩阵形式

DFT可以理解为向量到向量的映射,不难看出该映射是线性的:

记$\mathbf{F}=\underline{\mathcal{F}} f$,则矩阵形式为

本文标题:EE261 Lecture 19

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月27日 - 20:35:00

最后更新:2019年07月27日 - 20:39:58

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/07/27/EE261 Lecture 19/

许可协议: 署名-非商业性使用-禁止演绎 4.0 国际 转载请保留原文链接及作者。