EE261 Lecture 17 and Lecture 18

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这次回顾第十七讲,十八讲,这两讲介绍了采样。

周期分布和傅里叶级数

我们称一个分部周期为$p$,如果

所以

注意到周期化函数使用了$\text{III}$的卷积:

更一般的,假设$f$的周期为$p$,那么

$\text{III}$的傅里叶系数

由之前讨论,我们得到

注意到$\mathcal{F} \text{III}=\text{III}$,所以

不难看出右边定义了一个分布。

采样和插值

现在讨论采样问题,假设已知$f\left(t_{0}\right), f\left(t_{1}\right), f\left(t_{2}\right), \ldots$,我们希望计算出其他点上的值,为了后续讨论,引入如下概念:

带宽有限

信号$f(t)$带宽有限,如果存在$p$,使得$\mathcal F f(s)=0, |s|\ge p/2$,最小的$p$被称为$f(t)$的带宽。

对带宽有限的信号采样和插值

后续讨论之前,给出如下结论:

  • 一个信号不能同时是时间有限和带宽有限

证明:假设$f$带宽有限,即$\mathcal F f(s)=0, |s|\ge p/2$,那么

取傅里叶逆变换可得

显然$f(t)$不是时间有限的。

采样定理

如果$f(t)$带宽有限,$\mathcal F f(s)=0, |s|\ge p/2$,我们周期化并截断得到恒等式

对两边取傅里叶变换得到

将结论总结如下:

  • 如果$f(t)$带宽有限:$\mathcal F f(s)=0, |s|\ge p/2$,那么

如果记

那么上式也可以表示为

一般的插值

考虑定义在$L^2(\mathbb R)$上的内积

Parseval等式告诉我们

所以

即$\operatorname{sinc}(t-n)$构成正交基。现在使用内积的方式重写采样定理

所以

一般情形也可以由类似上式进行推广。

带宽有限信号的有限采样

考虑实傅里叶级数

取傅里叶变换得到

另一方面,利用采样定理,我们有

假设

现在选择$p$,使得包含整个函数,考虑下图

利用上图的取法得到

那么

注意到

而$f(t)$周期为$q$,所以

带入采样定理得到

第$k$项的和为

(见引理)

所以得到另一个公式

其中

例子

考虑

此处$N=1, q=1, p=3$,所以

利用上式公式可得

引理

假设$p, q>0$,$N$为小于$pq /2$的最大整数。那么

这里证明上述结论:

对左边取傅里叶变换可得(回顾$N$的定义)

现在对右边取傅里叶逆变换可得

采样的问题

假设原函数的带宽为$p$,如果我们用小于$p$的$q$进行采样,那么显然有

但是右边依然可以化成

其中

令$t=t_k$,我们得到

所以求出的函数在采样点上依然满足条件,但是显然有

这就会产生无法区分的现象。

本文标题:EE261 Lecture 17 and Lecture 18

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月22日 - 09:55:00

最后更新:2019年07月23日 - 09:08:34

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