EE261 Lecture 16

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这次回顾第十六讲,这一讲介绍了shah函数。

这部分从X射线的波长测量开始,由于X射线的波长很短,无法用衍射现象测量,后来人们借助晶体来测量,晶体具有周期性,其电子密度可以写成

注意到

引入如下记号

所以我们有

我们称$\text{III}_p$为shah函数,也称为Dirac comb函数,其中$p$为间隔。利用卷积定理,我们可得

$\text{III}$分布

标准的shah函数的$p=1$,即

一般情形为

将其视为分布,那么我们有

使用$\text{III}$周期化

利用shah函数,我们可得

即shah函数可以将函数周期化。

接着回顾方波函数

现在假设函数$f=0,|t|\ge p/2$,那么

第一个结论是显然的,第二个结论也不难理解,先将其周期化,然后再截断必然等于原函数,下面从代数角度验证这点:

其中导数第二个等式用到了如下事实

$\text{III}$函数的性质

首先回顾定义

考虑

对于$\delta$函数,我们有

所以

所以

另一方面

所以

$\text{III}$的傅里叶变换

特殊情形

首先考虑$p=1$的情形,此时我们有

所以我们有

上式显然无法收敛,所以只能将上式视为分布,下面从分布角度理解:

为了后续处理,这里先介绍泊松恒等式:

泊松恒等式

假设$\varphi $是速降函数,那么

先使用上述结论,后面补充证明。

利用上式,我们有

所以

一般情形

接着考虑一般情形,我们需要使用之前介绍的结论

推导如下

泊松恒等式的证明

这部分证明泊松恒等式。

将测试函数$\varphi (t)$周期化为周期为$1$的函数$\Phi (t)$:

作为周期函数,$\Phi $有傅里叶级数

其中

所以

取$t=0$,我们有

回到X光

回到X光的内容,电子密度为

取傅里叶变换得到

这说明间距为晶体间距的倒数$\frac 1 p$。

本文标题:EE261 Lecture 16

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月22日 - 09:47:00

最后更新:2019年07月22日 - 09:54:56

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