EE261 Lecture 30

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这次回顾第三十讲,这一讲介绍了二维傅里叶变换的应用以及拉东变换。

考虑X光的问题,公式如上。$I_0$为初始强度,$I$为测量强度,$L$为线段,现在的任务是已知$I$,如何恢复$\mu(x_1, x_2)$,从上式中可以看出,实际我们的任务是已知如下线积分,然后恢复原函数。

拉东变换

由于要计算线积分,这里首先讨论直线的表示方法,如下图所示,直线可以由角度$\phi$以及有向距离$\rho$表示。

当$\phi $固定,$\rho $变动时表示的是一族平行线;当$\rho $固定,$\phi$变动时表示的过原点的切线。

该坐标系和直角坐标系的变换关系为:

利用上述参数定义函数的拉东变换:

利用线上的$\delta $函数,我们可以将上述积分写成

写成向量形式为

例子

例1

由对称性,该函数的拉东变换和角度无关,所以对于$|\rho|\le 1$,其拉东变换为

显然当$|\rho |> 1$时拉东变换为$0$,因此

例2

拉东变换为

那么

所以

所以在极坐标下,上述结论即为

性质

拉东变换有如下性质:

  • $\mathcal{R}(\alpha f+\beta g)=\alpha \mathcal{R}(f)+\beta \mathcal{R}(g)$
  • $\mathcal{R}(\mu(\mathbf{x}-\mathbf{b}))=\left(\mathcal{R}_{\mu}\right)(\rho-\mathbf{b} \cdot \mathbf{n}, \phi)$
  • $\mathcal{R} \mu(-\rho, \phi+\pi)=\mathcal{R} \mu(\rho, \phi)$

证明直接利用定义验证即可。

回到原问题

在上述概念下,我们的原始问题实际上就是求拉东变换的逆变换,其中拉东变换为

关于$\rho $取傅里叶变换可得

那么

所以对上式取傅里叶逆变换即可恢复$\mu(x_1, x_2)$。

本文标题:EE261 Lecture 30

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年08月12日 - 10:35:00

最后更新:2019年08月12日 - 11:39:49

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