EE261 Lecture 28

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这次回顾第二十八讲,这一讲介绍了高维傅里叶变换的性质以及高维傅里叶序列。

性质

线性性
平移性
  • 如果$f(\mathrm{x}) \rightleftharpoons F(\xi)$,那么$f(\mathbf{x} \pm \mathbf{b}) \rightleftharpoons e^{ \pm 2 \pi i \mathbf{b} \cdot \xi} F({\xi})$

以二维情形证明该结论:

伸缩

假设$A$为可逆矩阵,那么

证明:

对于内积,我们有如下性质

所以

代入原式可得

综上,

伸缩和平移

这部分计算

我们有如下结论:

证明:

那么

取傅里叶变换得到

另一方面,利用伸缩定理可得

卷积

$n$维卷积的形式和一维情形一致:

和一维情形类似,我们有

$\delta$函数及其性质

$n$维情形的$\delta$函数同样可以用分布理论解释,这里首先给出定义。

定义$n$维$\delta$函数为

定义

和一维情形类似,我们有如下性质

$\delta$函数的傅里叶变换
伸缩性

对2维情形证明该结论,注意我们有

所以

如果$A$可逆,那么

证明:

利用分布以及变量代换证明上述结论。

高维傅里叶序列

首先定义高维周期函数,这里假设周期为$1$,设

那么$f$为周期函数,如果对所有的$\mathbf{n}$,我们有

傅里叶序列

定义$d$维的傅里叶序列为

类似一维情形,可以将周期函数展开为傅里叶序列,其中系数为

应用

考虑等概率随机游走问题,假设维度$d$。随机游走是指每次只对某个坐标变动$\pm 1$,每一步是相互独立的,不失一般性,这里假设出发点为原点。以$3$维为例,每一步可走的step为

假设一共走了$n$步,那么

关于随机游走有如下定理:

定理

在$1$维和$2$维情形, 我们有

对于$\ge 3$维,我们有

证明:

定义

那么

注意到

而由独立性可得

所以

由对称性,我们可得

定义

显然

那么

接着,令

由傅里叶系数的定义可得

特别的,考虑$l =0$的特殊情形,并计算

事实上,上述和表示返回原点的次数的期望,理由如下:

定义随机变量$V_n$,其为$1$,如果在第$n$步返回原点,否则为$0$,那么

现在令

那么其期望即为返回原点的次数的期望,并且

现在对右式化简,我们有

因为

所以

因此

利用微积分的知识可得上述积分在$d=1, 2$时发撒,在$d\ge 3$时收敛。

为了解决$d\le 2$的情形,还需要如下引理:

引理
  • $p_n$为访问原点至少$n$次的概率
  • $q_n$为访问原点$n$次的概率
  • 那么$p_n = p_1^n ,q_n =p_1^n(1-p_1)$

证明:

由$p_0 =1$递推可得

由定义,我们有

现在假设$p_1 < 1$,那么

但是,由之前结论可得上述期望发散($d\le 2 $),因此我们有$p_1= 1$,即返回原点的概率为$1$,所以$p_n= 1$,结论成立。

本文标题:EE261 Lecture 28

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年08月09日 - 10:15:00

最后更新:2019年08月09日 - 10:23:03

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