EE261 Lecture 29

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这次回顾第二十九讲,这一讲介绍了高维$\text{III}$函数。

回顾$\text{III}$函数:

这里对上述内容进行推广。

二维$\text{III}$

二维$\text{III}$函数为

定义

那么$\text{III}$函数可以简写为

利用$\text{III}$周期化

考虑

任取$\mathbf{n} \in \mathbf{Z}^{2}$,那么

$\text{III}$的傅里叶变换

和一维情形类似,我们有

证明方法是利用

证明:考虑如下函数

由其周期性,考虑其傅里叶系数展开

其中系数为

令$\mathbf{x} = 0$,我们有

最后利用分布理论证明上述结论,

格子点上的$\text{III}$

之前讨论的是在整格子点上$\text{III}$函数,现在讨论一般情形,首先定义

其中$\mathcal{L}$的基底为$u_1=A \mathbf{e}_{1},u_2=A \mathbf{e}_{2}$,$A$为$2$阶可逆矩阵。

考虑

由之前的结论,我们有

因此

傅里叶变换

利用

推导一般情形的傅里叶变换。

采样

如上图所示,假设$\mathcal{F} f(\xi)$在$2$维单位方格以外为$0$,类似一维情形,我们有

取逆变换可得

带有坐标的形式为

对于一般的格子,设

那么

对$g$使用之前的结论可得

令$\mathrm{y}=B \mathrm{x}$,我们有

更换符号可得

本文标题:EE261 Lecture 29

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年08月09日 - 10:23:00

最后更新:2019年08月09日 - 10:28:34

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