EE263 Lecture 19 Controllability and state transfer

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这次回顾第十九讲,这一讲介绍了可控性和状态转移。

可控性系统

系统被称为可达或可控,如果所有状态可达(即$\mathcal R = \mathbb R^n$)

系统为可达当且仅当$\operatorname{Rank}(\mathcal{C})=n$,注意

例子:

控制矩阵为

可达集合为

一般的状态转移

对于$t_{f}>t_{i}$,我们有

因此将$x\left(t_{i}\right)$转移到$x\left(t_{f}\right)=x_{\mathrm{des}}$等价于

注意

这说明

  • 一般的的状态转移可以化成可达性问题
  • 如果系统是可控的,那么任何状态可以在$\le n$步到达
  • 重要的特殊情形:将状态变为$0$

可达性的最小范数输入

假设系统可达,即$\operatorname{Rank}\left(\mathcal{C}_{t}\right)=n$

为了将$x(0)=0$转移到$x(t)=x_{\mathrm{des}}$,输入$u(0), \ldots, u(t-1)$必须满足

对所有满足条件的$u$,使得下式最小化

的$u$由最小范数解给出

$u_{\ln }$被称为最小范数或最小能量输入。

带入可得

其中$\tau=0, \ldots, t-1$。

$\mathcal{E}_{\mathrm{min}}$,即到达$x(t)=x_{\mathrm{des}}$的$\sum_{\tau=0}^{t-1}|u(\tau)|^{2}$的最小值,有时被称为到达$x(t)=x_{\mathrm{des}}$的最小能量

  • $\mathcal{E}_{\min }\left(x_{\mathrm{des}}, t\right)$给出度量从$x(0)=0$到达$x(t)=x_{\mathrm{des}}$的难易程度
  • $\mathcal{E}_{\min }\left(x_{\mathrm{des}}, t\right)$给出可控性/可达性的实际度量(关于$x_{\mathrm{des}}, t$的函数)
  • 椭球$\left\{z | \mathcal{E}_{\min }(z, t) \leq 1\right\}$给出在$t$时刻,单位能量可达的状态空间

考虑$\mathcal{E}_{\min }$和$t$的关系:

如果$t\ge s$,那么

因此

从而

即,使用更少的能量更悠闲的到达某处。

无限时间的最小能量

矩阵

总存在,并且给出了到达$x_{\mathrm{des}}$的最小能量:

如果$A$稳定,那么$P>0$(即,无法免费到达任何地方)

如果$A$不稳定,那么$P$可能有非平凡零空间

  • $Pz=0,z\neq 0$说明可以用能量为任意小的$u$到达$z$
  • 上述事实为高度机动,不稳定的飞机的基础

连续时间的可达性

考虑

在时间$t$的可达集合为

事实:对$t>0, \mathcal{R}_{t}=\mathcal{R}=\operatorname{range}(\mathcal{C})$,其中

为矩阵$(A,B)$的可控性矩阵。

  • $\mathcal R $和离散情形相同
  • 对于连续时间系统,任何可到达的点都可以以任意时间到达(使用足够大的$u$)

证明:

首先证明对任意$u$(以及$x(0)=0 $)我们有$x(t) \in \operatorname{range}(\mathcal{C})$

将$e^{tA}$写成幂级数:

根据C-H定理,用$A^{0}, \ldots, A^{n-1}$表达$A^{n}, A^{n+1}, \dots$,得到

因此

其中

因此,$x(t)\in \operatorname{range}(\mathcal{C})$。

还需证明$ \operatorname{range}(\mathcal{C})$中每个点可达。

脉冲输入

假设$x\left(0_{-}\right)=0$,输入为$u(t)=\delta^{(k)}(t) f$,其中$\delta^{(k)}$为$\delta $的$k$阶导数,$f\in \mathbb R^m$,从而拉普拉斯变换为

参考资料

所以

因此

特别的,$x\left(0_{+}\right)=A^{k} B f$。

因此,输入$u=\delta^{(k)} f$将状态$x\left(0_{-}\right)=0$转移到$x\left(0_{+}\right)=A^{k} B f$

现在考虑如下形式的输入

其中$f_i \in \mathbb R^m$

由线性性,我们有

所以我们可以到达$\operatorname{range}(\mathcal{C})$中任意一点(使用脉冲输入),同样可以证明不使用脉冲输入也能够做到这点。

事实:如果$x(0) \in \mathcal{R}$,那么对所有$t$,$x(t) \in \mathcal{R}$

例子

  • 单位质量在$y_1,y_2$,由单位弹簧,阻尼器连接
  • 输入为物体间的力
  • 状态为$x=\left[y^{T} \quad \dot{y}^{T}\right]^{T}$

图如下:

系统为

控制矩阵为

可达集合为

可达的集合满足$y_{1}=-y_{2}, \dot{y}_{1}=-\dot{y}_{2}$。

结果是显然的,因为内力不会影响中心位置或总动量。

连续时间可达性的最小范数输入

假设$\dot{x}=A x+B u$可达

我们寻找$u$,使得其将$x(0)=0$转移到$x(t)=x_{\mathrm{des}}$,并且最小化

将系统离散化,间隔为$h=t/N$(后续令$N\to \infty$)

所以$u$为分段常数

所以

其中

(具体推导参考第15讲)

产生$x(t)=x_{\mathrm{des}}$的最小范数$u_d$为

因为

用$A$表达上式:

当$N$充分大时,$B_{d} \approx(t / N) B$,所以有如下近似

类似的,我们有

因此离散化的最小范数输入近似于

因此,存在最小范数连续输入,使得

  • 可以使得$t$很小,但是得到较大的$u$
  • 和DT情形的区别为将求和变成积分

最小能量为

其中

可以证明

实际上,对任意$t>0$,我们有$\operatorname{range}(Q(t))=\mathcal{R}$

本文标题:EE263 Lecture 19 Controllability and state transfer

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年08月05日 - 23:15:00

最后更新:2019年08月05日 - 23:34:46

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/08/05/EE263 Lecture 19 Controllability and state transfer/

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