EE261 Lecture 25

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这次回顾第二十五讲，这一讲介绍了线性系统的特征函数。

LTI系统的傅里叶变换

LTI系统可以表示为

$$w(t)=(h * v)(t)$$

取傅里叶变换可得

$$W(s)=H(s) V(s)$$

特征函数

这部分讨论LTI的特征函数，考虑$L\left(e^{2 \pi i \nu t}\right)$，计算其傅里叶变换得到（其中$L$表示线性系统）：

$$\begin{aligned} W(s) &=H(s) \mathcal{F}\left(e^{2 \pi i \nu t}\right) \\ &=H(s) \delta(s-\nu) \\ &=H(\nu) \delta(s-\nu) \end{aligned}$$

取傅里叶逆变换得到

$$L\left(e^{2 \pi i \nu t}\right)=H(\nu) e^{2 \pi i \nu t}$$

这说明$e^{2 \pi i \nu t}$是该系统的特征函数。

离散情形

假设离散LTI可以表示为

$$\mathbf{w}=L \mathbf{v}=\mathbf{h} * \mathbf{v}$$

取

$$\mathbf{w}=\mathbf{h} * {\omega}^{k}$$

对其取傅里叶变换得到

$$\begin{aligned} \underline{\mathcal{F}} \mathbf{w}[m] &=\underline{\mathcal{F}} \mathbf{h}[m] \underline{\mathcal{F}} {\omega}^{k}[m] \\ &=\underline{\mathcal{F}} \mathbf{h}[m] N {\delta}[m-k]\\ &=\mathbf{H}[m] N \delta[m-k] \\ &=\mathbf{H}[k] N \delta[m-k] \end{aligned}$$

即

$$\underline{\mathcal{F}} \mathbf{w} = \mathbf{H}[k] N \delta_k$$

注意到

$$\underline{\mathcal{F}} \delta_{k}=(1 / N) \omega^{k}$$

对原式取逆变换得到

$$\mathbf{w}=\mathbf{H}[k]{\omega}^{k}$$

这说明${\omega}^{k}$是该系统的特征函数。