EE261 Lecture 26 and Lecture 27

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这次回顾第二十六讲,二十七讲,这一讲介绍了高维傅里叶变换。

记号

这部分讨论高维傅里叶变换,为了和一维形式接近,首先引入一些记号:

傅里叶变换

利用上述集合,定义傅里叶变换及其逆变换:

在上述定义下,我们有

补充定义

那么和一维情形类似,我们有

可分离变量函数的傅里叶变换

我们称函数是可分离变量的,如果

在这种情形下,函数的傅里叶变换很好求出,例如在二维情形下,

$n$维情形同理可得:

例子

方波

考虑二维方波函数

不难看出我们有

取傅里叶变换得到

类似的,如果考虑一般情形的方波函数,即定义域为$-a_{1} / 2<x_{1}<a_{1} / 2,-a_{2} / 2<x_{2}<a_{2} / 2$,此时

那么

更一般的,考虑$n$维方波

我们有

取傅里叶变换可得

高斯函数

考虑标准高斯函数

我们有

其中

取傅里叶变换可得

径向函数的傅里叶变换

径向函数是指可以表示为到原点距离的函数,这里以二维情形来讨论,首先考虑点的极坐标表示

利用内积定义,我们有

取傅里叶变换得到

现在考虑积分

我们有如下结论,如果$g$的周期为$2\pi$, 那么

证明:

令$\theta = \phi +t$,那么

所以

不难看出上述积分无法求出,所以这里引入如下函数

该函数被称为$0$阶第一类贝塞尔函数。

在上述记号下,我们有

并且$f(r)$的傅里叶变换为

这说明径向函数的傅里叶变换也为径向函数。($F(\rho)$也被称为$f(r)$的零阶汉高变换)

例子

考虑

那么

令$u=2\pi r\rho$,那么

贝塞尔函数有如下性质

其中$J_1$为一阶贝塞尔函数。

因此

定义

那么

本文标题:EE261 Lecture 26 and Lecture 27

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年08月05日 - 10:35:00

最后更新:2019年08月05日 - 00:39:37

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