EE261 Lecture 23 and Lecture 24

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这次回顾第二十三,二十四讲,这一讲介绍了线性系统。

线性系统

这里的系统是信号到信号的映射,即

线性系统是指满足如下条件的系统

特别的,取$\alpha =0$,我们有

例子

离散情形

考虑矩阵运算

其中$\mathbf{v} \in \mathbf{R}^{n}, \mathbf{w} \in \mathbf{R}^{m},A\in \mathbf R^{m\times n}$,写成分量的形式为

(实际上有限维的线性系统都可以表示为上述形式)

连续情形

特别的,傅里叶变换也可以表示为上述情形

其中$k(s, t)=e^{-2 \pi i s t}$

(实际上无限维的线性系统都可以表示为上述形式,$k$被称为核)

卷积

考虑连续卷积运算

由定义可得

其中

对于离散卷积,我们有

其中

下面计算该情形对应的矩阵:

级联线性系统

考虑级联线性系统:

来看一个具体例子:

所以

其中

脉冲响应

回顾$\delta $函数,我们有

作用线性系统得到

因此定义脉冲响应为

实际上有如下的定理:

叠加定理

如果$L$是脉冲响应为$h(x,y)$的线性系统,那么

考虑傅里叶变换,我们有

因此

线性时不变系统

这部分讨论线性时不变系统,即

根据时不变性,我们有

因此

即线性时不变系统为卷积运算。

反之,如果

那么

因此$L$也为时不变系统,并且根据定义,我们有$g(t-\tau)$为脉冲响应,所以

将上述内容总结即得到如下结论:

  • $L$是线性系统,那么其中$h(x,y)$为脉冲响应该系统为时不变的当且仅当其为卷积,此时脉冲响应为$x-y$的函数,卷积运算是关于脉冲响应的卷积,

本文标题:EE261 Lecture 23 and Lecture 24

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月30日 - 10:19:00

最后更新:2019年08月03日 - 10:37:46

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/07/30/EE261 Lecture 23 and Lecture 24/

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