EE261 Lecture 23 and Lecture 24

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这次回顾第二十三，二十四讲，这一讲介绍了线性系统。

线性系统

这里的系统是信号到信号的映射，即

$$w(t)=L(v(t))$$

线性系统是指满足如下条件的系统

$$\begin{aligned} L\left(v_{1}(t)+v_{2}(t)\right) &=L\left(v_{1}(t)\right)+L\left(v_{2}(t)\right) \\ L(\alpha v(t)) &=\alpha L(v(t)) \end{aligned}$$

特别的，取$\alpha =0$，我们有

$$L(0)=L(0 \cdot 0)=0 \cdot L(0)=0$$

例子

离散情形

考虑矩阵运算

$$\mathbf{w}=A \mathbf{v}$$

其中$\mathbf{v} \in \mathbf{R}^{n}, \mathbf{w} \in \mathbf{R}^{m},A\in \mathbf R^{m\times n}$，写成分量的形式为

$$\mathbf{w}[i]=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \mathbf{v}[j], \quad i=1, \ldots, m$$

（实际上有限维的线性系统都可以表示为上述形式）

连续情形

$$w(x)=L v(x)=\int_{a}^{b} k(x, y) v(y) d y$$

特别的，傅里叶变换也可以表示为上述情形

$$\mathcal{F} f(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty} k(s, t) f(t) d t$$

其中$k(s, t)=e^{-2 \pi i s t}$

（实际上无限维的线性系统都可以表示为上述形式，$k$被称为核）

卷积

考虑连续卷积运算

$$w(x)=L v(x)=(g * v)(x)$$

由定义可得

$$w(x)=(g * v)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x-y) v(y) d y=\int_{-\infty}^{\infty} k(x, y) v(y) d y$$

其中

$$k(x, y)=g(x-y)$$

对于离散卷积，我们有

$$\mathbf{w}=\mathbf{h} * \mathbf{v}=L \mathbf{v}$$

其中

$$\mathrm{w}[m]=(\mathrm{h} * \mathrm{v})[m]=\sum_{n=0}^{N-1} \mathrm{h}[m-n] \mathrm{v}[n]$$

下面计算该情形对应的矩阵：

$$L \delta_{n}[m]=\left(\mathrm{h} * \delta_{n}\right)[m]=\mathrm{h}[m-n]$$

即

$$(L)_{m n}=\mathrm{h}[m-n]$$

级联线性系统

考虑级联线性系统：

$$\begin{aligned} (M L)\left(\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}\right) &=M\left(L\left(\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}\right)\right) \\ &=M\left(\alpha_{1} L v_{1}+\alpha_{2} L v_{2}\right)\\ &=\alpha_{1} M L v_{1}+\alpha_{2} M L v_{2} \end{aligned}$$

来看一个具体例子：

$$\begin{aligned} M L v(x) &=\int_{a}^{b} \ell(x, y) L v(y) d y \\ &=\int_{a}^{b} \ell(x, y)\left(\int_{a}^{b} k(y, z) v(z) d z\right) d y\\ &=\int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \ell(x, y) k(y, z) v(z) d z d y\\ &=\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b} \ell(x, y) k(y, z) d y\right) v(z) d z \end{aligned}$$

所以

$$M L v(x)=\int_{a}^{b} K(x, z) v(z) d z$$

其中

$$K(x, z)=\int_{a}^{b} \ell(x, y) k(y, z) d y$$

脉冲响应

回顾$\delta $函数，我们有

$$v(x)=(\delta * v)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-y) v(y) d y$$

作用线性系统得到

$$w(x)=L v(x)=\int_{-\infty}^{\infty} L \delta(x-y) v(y) d y$$

因此定义脉冲响应为

$$L \delta(x-y)$$

实际上有如下的定理：

叠加定理

如果$L$是脉冲响应为$h(x,y)$的线性系统，那么

$$w(x)=L v(x)=\int_{-\infty}^{\infty} h(x, y) v(y) d y$$

考虑傅里叶变换，我们有

$$\mathcal{F} f(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty} h(s, t) f(t) d t$$

因此

$$\mathcal{F} \delta(t-s)=e^{-2 \pi i s t}$$

线性时不变系统

这部分讨论线性时不变系统，即

$$L v(t-\tau)=w(t-\tau)$$

根据时不变性，我们有

$$L \delta(t-\tau)=h(t-\tau)$$

因此

$$w(t)=L v(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau) v(\tau) d \tau=(h * v)(t)$$

即线性时不变系统为卷积运算。

反之，如果

$$w(t)=L v(t)=(g * v)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t-\tau) v(\tau) d \tau$$

那么

$$\begin{aligned} L\left(v\left(t-t_{0}\right)\right) &=\int_{-\infty}^{\infty} g(t-\tau) v\left(\tau-t_{0}\right) d \tau\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} g\left(t-t_{0}-s\right) v(s) d s \\ &=(g * v)\left(t-t_{0}\right)\\ &=w\left(t-t_{0}\right) \end{aligned}$$

因此$L$也为时不变系统，并且根据定义，我们有$g(t-\tau)$为脉冲响应，所以

$$L \delta(t-\tau)=g(t-\tau)$$

将上述内容总结即得到如下结论：

• $L$是线性系统，那么 $$L v(x)=\int_{-\infty}^{\infty} h(x, y) v(y) d y$$ 其中$h(x,y)$为脉冲响应 $$h(x, y)=L \delta(x-y)$$ 该系统为时不变的当且仅当其为卷积，此时脉冲响应为$x-y$的函数，卷积运算是关于脉冲响应的卷积， $$L v(x)=\int_{-\infty}^{\infty} h(x-y) v(y) d y=(h * v)(x)$$