Doraemonzzz

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第二十二讲，这一讲介绍了DFT的性质以及快速傅里叶变换。 DFT的性质Parseval恒等式 \underline{\mathcal{F}} \mathrm{f} \cdot \underline{\mathcal{F}} \mathrm{g}=N(\mathrm{f} \cdot \mathrm{g})证明： \begin{aligned} \underline{\mathcal{F}} \mathrm{f} \cdot \underline{\mathcal{F}} \mathrm{g} &=\left(\sum_{k=0}^{N-1} \mathrm{f}[k] {\omega}^{-k}\right) \cdot\left(\sum_{\ell=0}^{N-1} \mathrm{g}[\ell] \omega^{-\ell}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{\ell=0}^{N-1} \mathrm{f}[k] \overline{\mathrm ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第二十，二十一讲，这一讲介绍离散傅里叶变换的一些性质。 周期性回顾DFT \mathbf{F}[m]=\sum_{k=0}^{N-1} \mathbf{f}[k] \omega^{-k m}注意到我们有 \omega^{-k(m+N)}=\omega^{-k m}所以 \sum_{k=0}^{N-1} \mathrm{f}[k] \omega^{-k(m+nN)}=\sum_{k=0}^{N-1} \mathrm{f}[k] \omega^{-k m}=\mathbf{F}[m]即 \mathbf{F}[m+n N]=\mathbf{F}[m]所以$\mathbf F$可以延拓为周期为$N$的函数，从而我们有如下假设： 我们总是假设$\mathbf F$为周期为$N$的函数 类似的，我们还做出如下假设： 我们总是假设$\mathbf f$为周期为$N$的函数 利用周期性，我们不难得到 \underline{\mathcal{F} } \mathrm{f}=\sum_{k=p ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第十九讲，这一讲引入离散傅里叶变换。 引入离散傅里叶变换的想法如下： 找到离散版本的$f(t)$作为$f(t)$的合理近似 找到离散版本的$\mathcal F f(s)$作为$\mathcal F f(s)$的合理近似 假设$f(t)$在$[0, L]$以外为$0$，$\mathcal F f(s)$在$[0, 2B]$以外为$0$，根据采样定理，我们需要在时域按照$1/ 2B$间隔采样，总共的点数为 N=\frac{L}{1 / 2 B}=2 B L采样点为 t_{0}=0, t_{1}=\frac{1}{2 B}, t_{2}=\frac{2}{2 B}, \ldots, t_{N-1}=\frac{N-1}{2 B}根据采样定理，知道上述点即可知道$f(t)$，所以我们可以说 $f(t)$的离散版本为采样点$f\left(t_{0}\right), f\left(t_{1}\right), \ldots, f\left(t_{N-1}\right)$ 现在借助$\text ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第十七讲，十八讲，这两讲介绍了采样。 周期分布和傅里叶级数我们称一个分部周期为$p$，如果 \tau_{p} S=S所以 \tau_{p} \text{III}_{p}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \tau_{p} \delta_{k p}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{k p+p}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{p(k+1)}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{k p}=\text{III}_{p}注意到周期化函数使用了$\text{III}$的卷积： \Phi(x)=\left(\varphi * \text{III}_{p}\right)(x)更一般的，假设$f$的周期为$p$，那么 (f * g)(x+p)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x+p-y) g(y) d y=\int_{-\infty}^{\infty} f(x ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE364A 这次回顾凸优化第三，第四讲，这部分介绍了凸函数的概念。 Lecture 3 and Lecture 4 Convex functions定义$f : \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}$是凸函数，如果$\operatorname{dom} f$是凸集，并且 f(\theta x+(1-\theta) y) \leq \theta f(x)+(1-\theta) f(y)对任意$x, y \in \operatorname{dom} f, 0 \leq \theta \leq 1$都成立，图示如下 $f$是凹的，如果$-f$是凸的 $f$是严格凸的，如果$\operatorname{dom} f$是凸的，并且 f(\theta x+(1-\theta) y)

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第十六讲，这一讲介绍了shah函数。 这部分从X射线的波长测量开始，由于X射线的波长很短，无法用衍射现象测量，后来人们借助晶体来测量，晶体具有周期性，其电子密度可以写成 \rho_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x-k p)注意到 \rho_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x-p k)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p) * \rho(x)=\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p)\right) * \rho(x)引入如下记号 \text{III}_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p)所以我们有 \rho_{p}=\text{III}_{p} * \rho我们称$\text{III}_p$为shah函数，也称为Dirac comb函数，其中$p$为间 ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第十五讲，这一讲介绍了傅里叶分析对于衍射现象的解释。 这部分讨论夫琅禾费衍射，其现象如下图 实验形式如下 假设Aperture plane一点距离P的距离为$r$。 这里主要的疑惑点是为什么明暗条纹不等间隔，注意明暗条纹对应于能量，这里假设能量场为 E=E_{0} e^{2 \pi i \nu t}注意从Aperture plane到Image plane的周期数量为$\frac r\lambda$，所以 d E=E_{0} e^{2 \pi i \nu t} e^{2 \pi i r / \lambda} d x所以Image plane的电场为 E=\int_{\text { apertures }} E_{0} e^{2 \pi i \nu t} e^{2 \pi i r / \lambda} d x=E_{0} e^{2 \pi i \nu t} \int_{\text { apertures }} e^{2 \pi i r / \lambda} d x考虑下图 在夫琅禾 ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第十四讲，这一讲介绍分布的傅里叶变换的性质。 导数定理回顾函数的傅里叶变换的导数公式 f^{\prime}(t) \rightleftharpoons 2 \pi i s F(s) \quad \text { and } \quad-2 \pi i t f(t) \rightleftharpoons F^{\prime}(s)其中 f(t) \rightleftharpoons F(s)现在考虑分布的情形： \begin{aligned} \left\langle\mathcal{F} T^{\prime}, \varphi\right\rangle &=\left\langle T^{\prime}, \mathcal{F} \varphi\right\rangle\\ &=-\left\langle T,(\mathcal{F} \varphi)^{\prime}\right\rangle \\ &=-\langle T, \mathcal{F}(-2 \pi i s \varp ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾Problem Set 3。 Problem 1因为 \mathcal{F} f(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t所以 \begin{aligned} W_{\mathcal Ff} &=\frac{1}{\mathcal{F} f(0)} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F} f(s) d s\\ &=\frac 1 {\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t} \mathcal F(\mathcal F f)(0)\\ &= \frac 1 {\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t} f^{-}(0)\\ &= \frac 1 {\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t} f(0)\\ &=\frac 1 {W_f} \end{aligned}Problem 2因为 \sin c(x) =\frac ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第十三讲，这一讲开始引入分布的傅里叶变换。 分布的傅里叶变换现在考虑分布的傅里叶变换 \langle\mathcal{F} \psi, \varphi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F} \psi(x) \varphi(x) d x假设积分都存在，由定义，我们有 \begin{aligned} \langle\mathcal{F} \psi, \varphi\rangle &=\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F} \psi(x) \varphi(x) d x \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i x y} \psi(y) d y\right) \varphi(x) d x \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第十二讲，这一讲对傅里叶变换加以推广。 上一讲定义了快速递减函数集$\mathcal S$，现在考虑作用在其上广义函数（也称为缓增分布（tempered distributions））$\mathcal T$。有两种视角看待增缓分布，分别如下 将增缓分布定义为$\mathcal S$中函数的极限 根据对$\mathcal S$中函数操作定义增缓分布 将分布视为极限考虑高斯函数 g(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} e^{-x^{2} / 2 t}, \quad t>0将$\delta$函数视为上式的极限 \delta(x)=\lim _{t \rightarrow 0} g(x, t)现在考虑分布对应函数的操作 \langle g(x, t), \varphi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} g(x, t) \varphi(x) d x利用泰勒展开不难得到 \lim _{t \rightarrow 0} \int_{-\i ...

这次回顾第四单元，这一讲介绍了离散随机变量。 课程主页：https://ocw.mit.edu/resources/res-6-012-introduction-to-probability-spring-2018/index.htm edx版本：https://www.edx.org/course/probability-the-science-of-uncertainty-and-data-0 Part 1：课程回顾常见随机变量伯努利随机变量 X=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { w.p. } p} \\ {0,} & {\text { w.p. } 1-p}\end{array}\right.其中$p \in[0,1]$。期望和方差为 \begin{aligned} \mathbf E[X]&= p\\ \operatorname{var}(X)&=p(1-p) \end{aligned}离散均匀随机变量给定整数$a\le b$，样本空间为$\{a, a+1, \ldots, b\}$，随机变量$X(\omega)=\omega$ ...