Doraemonzzz

这次回顾第四讲，这一讲的内容比较简单，主要内容计数。 课程主页：https://ocw.mit.edu/resources/res-6-012-introduction-to-probability-spring-2018/index.htm edx版本：https://www.edx.org/course/probability-the-science-of-uncertainty-and-data-0 Part 1：课程回顾乘法原理假设做一件事情有$r$个阶段，第$i$个阶段有$n_i$个选择，那么总共的选择数量为 \prod_{i=1}^r n_i利用乘法原理可以得到如下常用计数 排列数$n$个对象中取$k$个的排列数： \frac{n !}{(n-k)!}组合数$n$个对象中取$k$个对象的组合数： \binom n k =\frac{n!}{k! (n-k)!}分割数将$n$个对象分成$r$个组的分割数，其中第$i$个组有$n_i$个对象： \left(\begin{array}{c}{n} \\ {n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{r}}\end{ ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第十一讲，这一讲对傅里叶变换加以推广。 我们之前讨论的傅里叶变换假设了 \|f\|_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)| d t < \infty但是这个条件太苛刻，例如如下积分不存在 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} \cos 2 \pi t d t从而$\cos (2\pi t)$不存在傅里叶变换，后续几讲的内容要对上述条件加以推广，一个基本的想法是，找到一个集合$\mathcal S$，使得该集合中的函数的傅里叶变换仍然属于$\mathcal S$，后面将引入引入这个集合。 快速递减函数我们这里讨论的$\mathcal S $为快速递减函数集合。 我们称函数$f(x)$在$\pm \infty$快速递减，如果 $f(x)$无穷次可微 对所有可能的正整数$m, n$， \left|x^{m} \frac{d^{n}}{d x^{n}} f(x)\right| \rightarrow 0 \quad ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第十讲，这一讲完成了卷积部分的内容。 另一种热方程依旧考虑热方程 u_{t}=\frac{1}{2} u_{x x}这里的初值条件为 u(0, t)=f(t)这里我们假设 u(x,0)=0另一方面，我们假设 u(x,t)=0, x

这次回顾第十章的内容，这一章介绍了编译器的第一部分：语法分析。 课程官网： https://www.nand2tetris.org/ 视频地址： https://www.coursera.org/learn/build-a-computer Part 1：课程回顾背景介绍这一章完成了编译器的前半部分：语法分析，输出结果为XML格式，本章重点依然为项目，背景介绍部分从略。 Part 2：项目项目的注意点可以参考PPT的83，110，125页，分为JackTokenizer，CompilationEngine，JackAnalyzer。 JackTokenizerclass JackTokenizer(): Keyword = {'class', 'constructor', 'function', 'method', 'field', 'static', 'var', 'int', 'char', 'boolean', 'void', 'true', 'false', 'null', ...

这次回顾第九章的内容，这一章介绍了Jack编程语言。 课程官网： https://www.nand2tetris.org/ 视频地址： https://www.coursera.org/learn/build-a-computer Part 1：课程回顾背景介绍这章介绍了Jack语言，项目为利用Jack语言写一个app，背景介绍部分从略。 Part 2：项目这部分编写了Breakout游戏，截图如下： 该程序的构成如下： Ball/** BALL */ class Ball{ // screen location of the ball's center field int x, y; // radius of the ball field int r; // x direction of the ball, 0 means right, 1 means left field int directionx; // y direction of t ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE263 这次回顾EE263作业8。 13.17(a)$z^{-1}$的作用为延迟算子，所以 A=\left[\begin{array}{cccc}{0} & {\cdots} & {} & {} \\ {1} & {0} & {\cdots} & {} \\ {0} & {1} & {0} & {\cdots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} \\ {0} & {\cdots} & {0} & {1} & {0}\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {\vdots} \\ {0}\end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {\cdots} & {0} & {1}\end{array}\right], \quad D=0(b)$A$的特征值全为$0$ (c) A= \left[\begin{matrix}{0} & ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE263 这次回顾第十八讲，这一讲介绍了SVD的应用。 线性方程组对于数据误差的敏感度考虑$y=A x$，$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$可逆；所以$x=A^{-1} y$ 假设$y$有误差或噪声，即$y$变成$y+\delta y$ 那么$x$变成$x+\delta x$，其中$\delta x=A^{-1} \delta y$ 因此我们有 \|\delta x\|=\left\|A^{-1} \delta y\right\| \le\left\|A^{-1}\right\|\|\delta y\|如果$\left|A^{-1}\right|$很大， $y$的小误差会产生$x$的大误差 给定$y$，无法求解出很小误差的$x$ 因此，在实际中可以认为$A$是奇异的 更精细的分析使用$x,y$的相对误差而不是绝对误差 因为$y=Ax$，我们有$|y| \leq|A||x|$，因此 \frac{\|\delta x\|}{\|x\|} \le \left\|A^{-1}\ri ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE263 这次回顾第十七讲，这一讲介绍了SVD。 奇异值分解矩阵增益的完全情形由$A$的SVD给出： A=U \Sigma V^{T}其中 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}, {\operatorname {Rank}}(A)=r$ $U \in \mathbb{R}^{m \times r}, U^{T} U=I$ $V \in \mathbb{R}^{n \times r}, V^{T} V=I$ $\Sigma=\operatorname{diag}\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{r}\right)$，其中$\sigma_{1} \geq \cdots \geq \sigma_{r}>0$ 记 U=\left[u_{1} \cdots u_{r}\right], V=\left[v_{1} \cdots v_{r}\right]那么 A=U \Sigma V^{T}=\sum_{i=1}^{r} \sigma_{i} u_{ ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第九讲，这一讲介绍了卷积。 卷积傅里叶变可以解释为时域到频域的变换，给定函数$f(t)$和$g(t)$，我们希望在频域内得到 \mathcal{F} g(s) \mathcal{F} f(s)应该在时域内如何操作呢？这就引入了卷积的概念： \begin{aligned} \mathcal{F} g(s) \mathcal{F} f(s) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} g(t) d t \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s x} f(x) d x \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} e^{-2 \pi i s x} g(t) f(x) d t d x \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s(t+x)} ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261 这次回顾第七讲和第八讲，这两讲介绍了傅里叶变换的性质。 对偶性注意到 \begin{aligned} \mathcal{F} f(-s) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i(-s) t} f(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i s t} f(t) d t=\mathcal{F}^{-1} f(s) \\ \mathcal{F}^{-1} f(-t) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i s(-t)} f(s) d s=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(s) d s=\mathcal{F} f(t) \end{aligned}所以 \begin{aligned} \mathcal{F} f(-s) &=\mathcal{F}^{-1} f(s) \\ \mathcal{F}^{-1} f(-t) &=\mathcal{F} ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE263 这次回顾EE263作业7。 10.9(a)由行列式展开的特点，构成$s^n$的项为 \prod_{i=1}^n(s-a_{ii})所以$s^n$的系数为$1$。 (b)由行列式展开的特点，构成$s^{n-1}$的项为 \prod_{i=1}^n(s-a_{ii})所以$s^{n-1}$的系数为 -\sum_{i=1}^n a_{ii}=-\operatorname{Tr} A(c)常数项为$s=0$时的多项式的值，即 \mathcal{X}(0)=\operatorname{det}(-A)(d)第一个等式由定义即可，所以 \begin{aligned} a_{n-1}&=-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \\ a_{0}&=\prod_{i=1}^{n}\left(-\lambda_{i}\right) \end{aligned}10.11由条件可得 A=P^{-1}\Lambda P=\sum_{k=1}^n \lambda_k p_k q_k^T(a) ran ...

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE263 这次回顾第十六讲，这一讲继续介绍了对称矩阵的一些性质。 二次型如下形式的函数$f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ f(x)=x^{T} A x=\sum_{i, j=1}^{n} A_{i j} x_{i} x_{j}被称为二次型。 在二次型中，我们可以假设$A=A^T$，因为 x^{T} A x=x^{T}\left(\left(A+A^{T}\right) / 2\right) x（$\left(A+A^{T}\right) / 2$被称为$A$的对称部分） 唯一性：如果对任意$x \in \mathbb{R}^{n}$，$x^{T} A x=x^{T} B x$，并且$A=A^{T}, B=B^{T}$，那么$A=B$ 证明：取$x=e_i$可得 \begin{aligned} e_i^T Ae_i &= a_{ii}\\ e_i^TBe_i &= b_{ii}\\ a_{ii} &= b_{ii} \end{aligned}取$x=e_ ...