EE261 Lecture 9

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这次回顾第九讲,这一讲介绍了卷积。

卷积

傅里叶变可以解释为时域到频域的变换,给定函数$f(t)$和$g(t)$,我们希望在频域内得到

应该在时域内如何操作呢?这就引入了卷积的概念:

定义

那么

从上述推导过程中引入卷积的定义:

  • 定义:$g(t)$和$f(t)$的卷积为

    使用符号

  • 卷积定理

同理可得

此即为频域的卷积。

最后给出如下结论

为了证明上述结论,我们需要如下事实

证明:

那么需要证明的结论为

注意到

利用

可得

对两边取傅里叶变换得到

例子

回顾之前的例子,我们有

不难验证

性质

(傅里叶变换将卷积变成乘积,将乘积变成卷积)

卷积和滤波

卷积和滤波密切相关,考虑几个经典滤波

Lowpass filters

我们希望只有低频的信号通过,此处转移函数$H(s)$为

不难看出

利用卷积的性质可得

Bandpass filters

此处希望设计一个使得某个范围内的频率通过的滤波器,考虑

图像为

利用傅里叶变换的性质可得

Highpass filters

最后考虑高频滤波器,其图像为

函数为

Notch filters

Notch滤波器为

应用

傅里叶变换有一个非常有用的性质:

即可以将微分运算转化为乘法运算。

考虑微分算子:

该算子作用在$f(x)$上的结果为

现在对上式做傅里叶变换,利用上述结论得到

微分方程

来看一个具体例子:

取傅里叶变换得到

注意到

所以

利用卷积定理可得

偏微分方程

考虑热方程:

边界条件为

现在对方程两边关于$x$做傅里叶变换,首先对右边做傅里叶变换得到

其次对左边做傅里叶变换得到

所以原方程可以化为

因此

最后计算初值$\mathcal{F} u(s, 0)$:

最后我们得到

回顾之前的结论,我们有

接着回顾高斯函数

从而

因此

从而由卷积定理可得

本文标题:EE261 Lecture 9

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月03日 - 18:20:00

最后更新:2019年07月06日 - 11:13:39

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