EE263 Homework 7

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这次回顾EE263作业7。

10.9

(a)由行列式展开的特点,构成$s^n$的项为

所以$s^n$的系数为$1$。

(b)由行列式展开的特点,构成$s^{n-1}$的项为

所以$s^{n-1}$的系数为

(c)常数项为$s=0$时的多项式的值,即

(d)第一个等式由定义即可,所以

10.11

由条件可得

(a)

range:

因此

利用正交矩阵的特点可得正交补空间为

(b)因为

所以

那么对于$i\neq j$

此外

(c)

(d)因为

所以

(e)特征值为

对应的特征向量为

所以

因此

10.19

(a)注意到我们有

因为

所以

(b)

1
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n = 6 ; 
A =[-0.2880 -1.0174 0.4625 1.2678 -1.6342 0.8384 ; 1.5861 0.3352 2.1051 0.2998 0.3260 0.8293 ; 0.2411 -2.3091 -0.0736 -0.6288 0.1439 0.5105 ; -1.2803 0.4842 0.7187 -0.8074 0.0901 1.3939 ; 1.2931 1.0224 -0.7501 0.0724 0.0088 1.7703 ; 0.5874 -0.4287 0.5852 -1.4978 -1.9009 -0.1749 ];
C =[-10.3166 3.4759 -0.8583 -2.5407 -3.4990 8.0032];
x_0 =[-1.2413; 0.5541; -0.3143; 1.0052; -0.0480; -0.2018];
r = 0.5000;

%(b)
N = 1000;
t = linspace(0, 10, N);
y_max = zeros(1, N);
y_min = zeros(1, N);
y_nom = zeros(1, N);

for i = 1:N
ynom = C * expm(A * t(i)) * x_0;
res = norm(C * expm(A * t(i)) * r);
y_nom(i) = ynom;
y_max(i) = ynom + res;
y_min(i) = ynom - res;
end

plot(t, y_nom, 'b-', t, y_min, 'r--', t, y_max,'r--')

11.13

实正规矩阵的形式为

其中

下面讨论如何得到$S$,假设

对于$ 1\le i \le r$,取$s_i$为对应的特征向量即可。

对于$i\ge r+1$,假设$\lambda_i$对应的复特征向量为

那么

对比实部虚部得到

所以

利用上式计算即可:

1
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N = 10;

while 1
A = randn(N);
%特征值分解
[S0, Lambda] = eig(A);
Lambda = diag(Lambda);
%计算复特征值的数量
index = imag(Lambda) ~= 0;
if sum(index) > 0
break
end
end

S = zeros(N);
i = 1;
while i <= N
if index(i)
S(:, i) = real(S0(:, i));
S(:, i + 1) = imag(S0(:, i));
i = i + 2;
else
S(:, i) = S0(:, i);
i = i + 1;
end
end

S \ A * S
1
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11
ans =
3.3818 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 1.2037 2.1094 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 -2.1094 1.2037 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000
0.0000 -0.0000 0.0000 -0.4661 2.4649 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000
-0.0000 0.0000 0.0000 -2.4649 -0.4661 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -2.2108 0.9574 -0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.9574 -2.2108 0.0000 0.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -1.3388 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 1.0193 0.4240
-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.4240 1.0193

12.1

(a)

那么

如果$A$列满秩,那么$Ax=0$不存在非零解,从而$b_i =0$,因此$B=0$,这就与题设矛盾,所以$A$行满秩,即

因为

所以$B^T x=0$有$m$个线性无关的解,因此

(b)正确,实际上,对于$A \in \mathbb{R}^{(2k+1) \times (2k+1)}$,该结论都成立。

首先由条件可得

取行列式可得

那么

(c)正确

(d)不正确,反例如下:

(e)正确,证明如下:

假设$AB$的$\lambda_i$的特征值对应的特征向量为$q_i$,那么

所以$\lambda_i $也是$BA$的特征值,反之同理。

(f)不正确,从上题中即可看出

(g)正确,利用反证法,假设$A$不可对角化,那么$A$存在阶数大于$1$的约当块$J$,不难看出$J^2$无法对角化,与题设矛盾。

13.1

首先

其次

补充题

1

因为

所以

代码如下:

1
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15
n = 3;
A = randn(n);
[S1, Lambda1] = eig(A);
Lambda1 = diag(Lambda1);

% method 1
B = (eye(n) + A) / (eye(n) - A);
[S2, Lambda2] = eig(B);
Lambda2 = diag(Lambda2);

% method 2
Lambda3 = (1 + Lambda1) ./ (1 - Lambda1);

Lambda2
Lambda3
1
2
3
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8
Lambda2 =
0.1312 + 1.4362i
0.1312 - 1.4362i
0.3422 + 0.0000i
Lambda3 =
0.3422 + 0.0000i
0.1312 + 1.4362i
0.1312 - 1.4362i

本文标题:EE263 Homework 7

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月03日 - 17:59:00

最后更新:2019年07月03日 - 18:01:14

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/07/03/EE263 Homework 7/

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