EE261 Lecture 10

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这次回顾第十讲,这一讲完成了卷积部分的内容。

另一种热方程

依旧考虑热方程

这里的初值条件为

这里我们假设

另一方面,我们假设

对$u(x,t)$关于$x$做傅里叶变换得到

求偏导,利用热方程可得

所以

计算第二项得到

从而

考虑如下常微分方程的解法

利用积分因子

我们可得

这里

所以积分因子为

我们得到

从$0$到$t$积分可得

因为

所以

那么

做傅里叶逆变换得到

考虑内部的积分项

现在首先求解第一项,回顾

那么

第二项我们需要求解

注意到我们有

因此

为了计算最后一项,利用对偶性,我们有

从而

我们需要计算的项为

将所有内容总结得到

为了化简上式,我们讨论更一般的情形:

这里我们知道$\Phi(x, t)=0, x<0$,$\phi (x,\tau="" )$关于$x$是偶函数,$\psi="" )$关于$x$是奇数。取$a="">0$,那么$\Phi( -a, \tau )=0$,利用奇偶性可得

从而对于$a>0$,我们有

因此

我们对

使用上述结论得到

对比

回顾一开始介绍的元周上的热方程,其解为

其中

为了讨论方便,给出如下记号

所以问题的解为

回顾上一讲的热方程的解:

下面证明在$f(x)$的周期为$1$,$f(x)$在$\mathbb R$上都有定义时,这两个解相同,使用的结论为

证明:

最后证明恒等式:

考虑

显然该函数的周期为$1$,现在计算傅里叶系数:

而最后一项为$e^{-\frac{x^2}{2t}}$的傅里叶变换在$s=k$的值,我们知道其值为

因此

我们得到如下结论

卷积的另一种应用:中心极限定理

$X_1, \ldots,X_n$为独立随机变量,其概率密度函数为$p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$,不难得到$\sum_{i=1}^n X_i$的概率密度函数为$p_{1} p_{2} \cdots * p_{n}$。

为了叙述方便,定义

现在考虑独立同分布的随机变量$X_i$,其概率密度函数为$p$,记

后续计算中,我们假设$X_i$的期望为$0$,方差为$1$,即

除此之外,我们显然有

利用之前的结论,我们知道$S_n$的概率密度函数为

因此$\frac{S_n}{\sqrt n}$的概率密度函数为

中心极限定理的结论为

下面证明这点,首先假设

那么$p_n(x)$的傅里叶变换为

注意到我们有

从而

取傅里叶逆变换,我们得到

结论得证。

本文标题:EE261 Lecture 10

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月09日 - 10:17:00

最后更新:2019年07月09日 - 10:32:21

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