EE261 Lecture 11

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这次回顾第十一讲,这一讲对傅里叶变换加以推广。

我们之前讨论的傅里叶变换假设了

但是这个条件太苛刻,例如如下积分不存在

从而$\cos (2\pi t)$不存在傅里叶变换,后续几讲的内容要对上述条件加以推广,一个基本的想法是,找到一个集合$\mathcal S$,使得该集合中的函数的傅里叶变换仍然属于$\mathcal S$,后面将引入引入这个集合。

快速递减函数

我们这里讨论的$\mathcal S $为快速递减函数集合。

我们称函数$f(x)$在$\pm \infty$快速递减,如果

  1. $f(x)$无穷次可微

  2. 对所有可能的正整数$m, n$,

满足上述条件的一个函数为$e^{-\pi x^2}$。

后续讨论中使用另一种等价定义:对任意的正整数$m,n$,存在$C_{mn}$,使得

我们知道

同理可得对于正整数$n$

将上述两个结论合并得到,对于正整数$m, n $

(上式证明了无限可微性)

现在利用上式估计傅里叶变换的$L^1$范数:

因为$f$快速递减,所以该$L^1$范数有限,所以我们实际上证明了

结合上述两点,这说明$\mathcal F f$快速递减。

Parseval等式在$\mathcal S $上成立

假设$f(x)$和$g(x)$为$\mathcal S $上的复值函数,那么

特别的,对于$f=g$,那么$f(x) \overline{f(x)}=|f(x)|^{2}$,该等式变为

证明:利用傅里叶逆变换可得

因此

因此

本文标题:EE261 Lecture 11

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年07月09日 - 10:34:00

最后更新:2019年07月09日 - 10:41:33

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