这里回顾GAMES101 Lecture 5，光栅化（三角形的离散化）。

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本讲内容：

  • 完成变换
    • 视口(viewpoint)变换
  • 光栅化
    • 不同的光栅显示
    • 光栅化三角形
  • 遮挡和可见性

透视投影

透视投影转换为标准立方体需要知道$l, r,b, t,{f}, {n}$，一般来说说$f, n$为直接给定，而对于$l,r,b,t$，有时人们更喜欢使用垂直视野(field-of-view, fovY)和纵横比(aspect ratio)
（假设对称，即$l = -r, b = -t$），图示如下：

fovY，aspect和$l, r, b,t$的转换关系为：

小结

到目前为止，我们介绍了：

  • 模型变换，model transformation（放置对象）
  • 视图变换，view transformation（放置相机）
  • 投影变换，projection transformation
    • 正交投影（长方体到“规范”立方体$[-1,1]^3$）
    • 透视投影（frustum到“规范”立方体）
  • 下一步是规范立方体到屏幕

规范立方体到屏幕

  • 什么是屏幕？
    • 像素数组
    • 数组大小：分辨率
    • 一种典型的光栅显示
  • 光栅 = 德语屏幕
    • 光栅化 = 在屏幕上绘图
  • 像素（仅供参考，“picture element”的缩写）
    • 到目前为止：一个像素是一个颜色统一的小方块
    • 颜色是（红、绿、蓝）的混合

现在定义屏幕空间：

  • 像素的索引采用$(x, y)$的形式，其中$x$和$y$都是整数
  • 像素的索引从$(0, 0)$到$(width - 1, height - 1)$
  • 像素$(x, y)$以$(x + 0.5, y + 0.5)$为中心
  • 屏幕覆盖范围$(0, 0)$到$(width, height)$

注意到：

  • 屏幕空间和$z$无关
  • 我们的目标是在$xy$平面做变换，将$[-1,1]^2$变换到$[0,width]\times [0, height]$

所以视口(viewpoint)变换为：

图示如下：

下一步：光栅化三角形到像素，即如何在屏幕上画东西。

三角形——形状基元

为什么是三角形？

  • 最基本的多边形
    • 可以分解其他多边形为三角形
  • 独特的属性
    • 保证是平的
    • 明确的内外部
    • 有明确的方法从顶点处插值（重心插值）

接下来的问题是，如何用像素近似三角形：

简单的方式：采样

在一个点上评估函数就是采样，我们可以通过采样来离散化函数：

for (int x = 0; x < xmax; ++x)
	output[x] = f(x);

采样是图形学的核心思想。
我们采样时间（1D）、面积（2D）、方向（2D）、体积（3D）……

对于三角形来说，如果像素中心在三角形内，则采样。定义判断函数inside：

代码：

for (int x = 0; x < xmax; ++x)
    for (int y = 0; y < ymax; ++y)
        image[x][y] = inside(tri, x + 0.5, y + 0.5);

注意到采样点为像素中心。

那么该如何实现inside函数呢？可以利用叉积。对于边界情况，如果一个点在边上，任意选择在三角形内部或者外部都可。

效果：

注意到我们是否要遍历屏幕上所有的点呢？回答是不用，可以找到三角形的bounding box或者每行的bounding box：

光栅化在屏幕上的效果

如果我们在屏幕上展示采样点，那么结果并不是太好，有很明显的锯齿状：

而真实的三角形为：

后续的课程会介绍缓解锯齿问题。