GAMES102 Lecture 10 Geometry 1 (Introduction)
这里回顾GAMES101 Lecture 10，这一讲完成了着色，并介绍了几何（基本表示方法）。
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本讲内容
这一讲介绍的内容：
- 纹理的应用；
- 几何导论（本课程的第二部分！）
- 几何示例；
- 几何的各种表示；
纹理的应用
纹理有很多用途，在现代GPU中，纹理 = 内存 + 范围查询（过滤）
- 将数据带入fragment计算的通用方法
许多应用
- 环境照明
- 存储微几何
- 程序纹理
- 实体造型
- 体绘制
环境光照（Environment Map）
一个房间内，来自四面八方都有光，如果可以把任意一个方向的光都记录下来，这就是环境光照。纹理可以用来描述环境光照，环境光可以渲染其他物体，效果如下：
Spherical Environment Map
Spherical Environment Map是指把环境光照记录在球面上，然后像展开地球仪一样展开，最后进行贴图：
展开后的例子如下：
这里的一个问题是图片上部和下部扭曲了，即靠近极点的位置发生了扭曲，那么是否能够解决该问题，一个方法是利用Cube Map。
Cube Map
Cube Map的思路很简单，对一个球面外接一个立方体，然后把球面投影到立体方上：
效果：
这样就会缓解扭曲的问题。
纹理会影响着色
纹理不一定只代表颜色：
- 如果存储相对高度/法线会怎样？
- 之前替换的是系数$k_d$；
- 这就是凹凸/法线贴图；
- 伪造详细的几何图形；
整体原理是：
- 相对高度发生变化导致法线发生变化；
- 最后着色结果会发生变化；
图示：
凹凸贴图
凹凸贴图的思路是添加表面细节而不添加更多三角形：
- 由纹理定义的每个纹素的“高度偏移”；
- 高度偏移会扰动每个像素的表面法线（仅用于着色计算）
- 那么问题是如何计算扰动后的法向量？
计算扰动后的法向量
- 假设原始表面的法向量为$n(p)=(0,0,1)$
- 在$p$的梯度为
- ${dp} / {du}={c}_1 [{h}({u}+1)-{h}({u})]$
- ${dp} / {dv}={c}_2 [{h}({v}+1)-{h}({v})]$
- 扰动后的法向量为$n=(-dp/du,-dp/dv, 1).normalized()$
- 计算思路为两个切线向量分别为$(1, 0, dp/du)$和$(1, 0, dp/dv)$；
- 注意到这是局部坐标，最后的结果需要进行坐标变换；
图示：
说明：
- $dp$为切线；
- 函数坐标为$(u, v, h(u,v))$；
- $h$为纹理函数；
- $c_1, c_2$为预设的系数；
位移贴图
凹凸贴图由于没有移动顶点，所以在边界处会产生问题，即物体的边界依然是规则的，一个解决方法是唯一贴图，即移动顶点，其思路是：
- 使用与凹凸贴图相同的纹理；
- 实际上移动顶点；
效果如下：
3D噪声 + 实体建模
三维纹理的思路是定义空间中任意一个点的值，下图中利用三维中的噪声函数计算每个点的值，得到了大理石的效果：
提供预先计算的着色
之前课程并没有介绍过如何处理阴影，一个方法是预先计算好环境光遮蔽的纹理，在着色时把环境光遮蔽和着色结果相乘，得到最终结果：
3D纹理和体渲染
在核磁共振中，扫描得到的信息是3D的，可以将该信息视为纹理，然后进行渲染作图：
几何
几何的例子见课件，这部分中点介绍表示集合的方式。
很多表示几何的方式
- 隐式
- 代数曲面；
- 水平集；
- 距离函数；
- 显式
- 点云；
- 多边形网格
- 细分，
- NURBS
最佳表示视任务而定。
隐式表示
隐式表示基于对点分类：
- 即点满足某些特定关系就在表面上；
例如：
- 球体：三维空间中满足$x^2+y^2+z^2 = 1$的点；
- 更一般地，$f(x,y,z) = 0$；
隐式表达的特点为：
- 采样很困难；
- 很难求解$f(x,y,z) = 0$；
- 例如$f(x, y, z)=\left(2-\sqrt{x^2+y^2}\right)^2+z^2-1$；
- 内外测试很容易；
- 只需判断$f(x,y,z) < 0$还是$f(x,y,z) > 0$；
- 例如点$(3 / 4,1 / 2,1 / 4)$和$f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-1$位置关系；
显式表达
显式表达中，所有点都直接给出或通过参数映射给出：
图示：
隐式表达的特点为：
- 采样很容易；
- 直接利用参数方程$f$即可；
- 例如$f(u, v)=((2+\cos u) \cos v,(2+\cos u) \sin v, \sin u)$；
- 内外测试很难；
- 例如$f(u, v)=(\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v)$
更多隐式表达
还有其他隐式表达方式，分别为：
- 代数曲面
- 构造立体几何
- 水平集方法
- 分形
代数曲面
代数曲面是关于$x,y,z$多项式的零集：
缺点是不直观。
Constructive Solid Geometry
Constructive Solid Geometry利用基本几何的基本运算定义新的几何，在下图中的基本运算为布尔运算，通过这些基本运算可以构造出各种复杂图形：
距离函数
对于任何一个几何，不描述其表面，而是描述空间中的点到该表面的最近距离（距离函数），考虑如下例子：
两个球随着距离的变化变成了不同的形状，具体方式为：
- 对每个点计算关于球的距离函数；
- 对两个距离函数进行融合；
- 逆变换得到图形；
- 计算距离函数的零点；
来看一个更复杂的例子：
$A,B$描述被物体挡住的两个时刻（图中阴影/黑色部分是指被物体挡住，白色部分是指原物体），现在的问题是求出中间时刻的状态。
方案1：直接对图片融合（线性融合），即得到$\mathrm{blend}(A,B)$，该图的区域分别为黑色，灰色和白色。
显然这不是我们要的效果，理想的效果应该是黑色区域大小变化。
方案2：
更好的方式先计算有向距离函数$SDF(A), SDF(B)$，然后计算$\mathrm{blend}(SDF(A), SDF(B))$，最后得到原始图。
再来看一个例子，也是通过距离函数得到：
最后是一个牛逼的例子：
水平集
距离函数的零点通常很难求得，一个方法是存储特定点的值：
表面是插值为零的点，等高线即应用了该方法。
医学数据中的水平集
水平集也可以定义在3维，假设有一个三维数据集，每个点对应一个密度函数$f(x,y,z)$，那么可以利用$f(x,y ,z)=c$得到物体表面，这也是CT，MRI的原理。
物理模拟中的水平集
描述水滴落下来的水花，也可以利用距离函数的水平集描述：
分形
- 分形表现出自相似性，可以表述所有尺度的细节；
- 描述自然现象的“语言”；
- 但很难控制形状！
示例：
隐式表达小结
- 优点：
- 简洁的描述（例如，一个函数）
- 某些查询很容易（物体内部、到表面的距离）
- 适合光线到表面的交集（稍后会详细介绍）
- 对于简单的形状、准确的描述/无采样误差
- 易于处理拓扑变化（例如，流体）
- 缺点：
- 难以为复杂形状建模