这里回顾GAMES101 Lecture 2,线性代数复习。

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大部分内容都比较熟悉,这里回顾下外积的内容。

外积

定义

外积$\vec a\times \vec b$是与$\vec a$和$\vec b$都垂直的向量$\vec c$,方向由右手定则决定,模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积,定义为:

其中$\theta$为$\vec a, \vec b$的夹角($0\le \theta \le \pi$),$\vec n$为与$\vec a, \vec b$平面垂直的单位向量,方向由右手定则决定。

性质

外积满足如下性质:

坐标表示

右手坐标系的基向量$\vec i, \vec j, \vec k$满足如下等式:

根据反交换律可得:

对于向量$\vec u, \vec v $,其坐标表示为:

根据分配率可得:

即:

利用行列式可以表示为:

利用矩阵形式可以表示为:

应用

  • 判断向量的左右关系;
  • 判断内外关系;

对于左右关系(下左图),可以通过计算$\vec a \times \vec b$的$z$分量来判断,$z$分量为正表示$\vec b$在$\vec a$的左边,反之为右边。

对于内外关系(下右图),可以通过如下方式判断,在三角形内部当且仅当: