高等概率论第十一讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲介绍了鞅的定义以及马尔可夫过程的定义。

这一讲主要是复习鞅的概念。

鞅的定义

设$\{X_n,n\ge 0\}$是定义在$(\Omega ,\mathcal F, \mathbb P)$上的(广义)实随机变量,$\{F_{n},n\ge 0\}$是一列上升的$\sigma$域(称为$\sigma$域流),若它满足

则称$\{X_n\}$关于$\{\mathcal F_n\} $是鞅,若将$”=”$改为$”\ge “, “\le”$则为下,上鞅。

鞅的几个性质

结论(1)(2)的证明见习题。

接下来看几个例题。

例1

证明:

上例的特殊情形为$\{\zeta_n\}$独立同分布,考虑如下例子。

例2

例3

如果$\{\zeta_n\} i.i.d$,且

那么

现在假设

现在有如下结论

这个问题的背景是两个人赌钱,两人一共有$a+b$元,第一个人每次有$p$的概率赢得$1$元,有$q$的概率输$1$元,$\tau$表示赌局结束的时间,上述结论的含义是赌局总会在有限时间内结束。

注意到

所以我们来估计$\mathbb P(\tau \ge \delta)$,注意到无论总哪个点出发,总有

所以

接下去考虑$\mathbb P(\tau\ge 2(a+b+1))$

同理可得

从而

例4

此时有如下结论

证明:

沿用上例的$\tau$,取$S_0 =a$,接下来计算$X_{\tau}$的期望,

由鞅的性质可知

解得

例5

该结论的证明见习题。

Markov过程的定义

设$\{X_n,n\ge 1\}$是定义在$(\Omega ,\mathcal F, \mathbb P)$上,取值于$(E,\Sigma)$中的随机变量,$\{F_{n},n\ge 0\}$是一列上升的$\sigma$代数,若其满足

则称$\{X_n\}$关于$\{\mathcal F_n\}$是一个Markov过程,性质(2)称为Markov性。实际中常取

那么(2)可以化为

如果$E=\{x_1,…,x_n,… \}$可数,那么$\{X_n\}$是Markov过程等价于

习题

习题1

证明:分别验证鞅的三个性质。

(1)

(2)

(3)记$\xi_n$为第$n$次取球时的红球数量,则

注意$(n+2)R_n$表示第$n$次取球时的红球数量,所以

注意当前取球之后的结果之和上一次有关,所以

所以$\{R_n\}$关于$\mathcal F_n =\sigma(R_i(1\le i\le n))$为鞅

习题2

(1)证明:因为$\varphi$是凸函数,$\{X_n\}$是鞅,所以

从而$\varphi(X_{n})$是下鞅

(2)证明:因为$\{X_n\}$是下鞅,所以

因为$\varphi$是凸函数,且$\varphi$单调非降,所以

从而$\varphi(X_{n})$是下鞅

本文标题:高等概率论第十一讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月26日 - 23:12:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:12:40

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/01/26/高等概率论第十一讲/

许可协议: 署名-非商业性使用-禁止演绎 4.0 国际 转载请保留原文链接及作者。