高等概率论第十讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲继续介绍条件期望的性质。

4.条件期望的性质

定理5.4.1

条件期望具有如下性质

(1)证明:首先$\mathbb E[X]$为$\mathcal G$可测,接着$\forall A\in \mathcal G$,

(2)证明:$X$为$\mathcal G$可测,$\mathbb E[Y |\mathcal G]$为$\mathcal G$可测,从而$X\mathbb E[Y |\mathcal G]$为$\mathcal G$可测。我们的目标是证明

如果$X=1_B$,那么

接下来将上述结论推广到非负简单,非负可测,再到一般的情形,从而完成证明。

(3)证明:因为$\mathbb E[X|\mathcal G_1]$为$\mathcal G_1$可测,所以$\mathbb E[X|\mathcal G_1]$为$\mathcal G_2$可测,由(2)可得

接着证明第二个等号。注意到$\mathbb E[X|\mathcal G_1] $为$\mathcal G_1$可测,$\forall A\in \mathcal G_1$,

所以

定理5.4.2

(1)证明:利用

如果

取$a= \frac{|X|}{ (\mathbb E[|X|^p|\mathcal G])^{\frac 1 p}},b=\frac{|Y|}{(\mathbb E[|Y|^q|\mathcal G])^{\frac 1 q}}$,那么

关于$\mathcal G$取条件期望可得

如果

考虑$X+\epsilon ,Y+\epsilon,\epsilon >0$,那么

令$\epsilon \to 0$即可。

(2)证明:因为下凸,所以$\forall x,y$

取$x=X(w),y =\mathbb E[X]$,则

取期望可得

取$x=X(w),y =\mathbb E[X|\mathcal G]$,则

两边取关于$\mathcal G$取条件期望可得

命题

证明:由截口的定义知$h(Y)$是$\sigma(Y)$可测。

为了证明

上式

注意到

定理5.4.3

证明:

推论

证明见习题。

习题

习题1

(课本P193/7.4/2)

(1)证明:首先考虑$X’$为示性函数的情形,假设$X’= 1_A$,那么$\forall B\in \mathcal C$,我们有

最后一步是由条件期望的定义。

由条件期望的线性性可知,$X’$为简单函数时结论也成立。

如果$X’$为非负可测函数,存在简单简单函数$\{X_n’\} \uparrow X’$,利用单调收敛定理可得结论也成立。

如果$X’$为一般可测函数,利用$X’= X^{‘+}-X^{‘-}$可得结论也成立。

(2)证明:取$C’=C$,则

取$X’=1_C $,则

习题2

(课本P193/7.4/3)

(1)证明:$\Rightarrow$:取$m=n+1$即可

$\Leftarrow$:因为$\mathcal F_n \uparrow$,所以

递推可得

(2)证明:

因为$X_n$为$\mathcal F_n$可测,$Y_{n+1}$与$\mathcal F_n$独立,所以

因此

从而$X_n$是鞅

习题3

(课本P193/7.4/5)

该题需增加如下条件

备注:该证明参考老师上课的讲解。

证明:计算截断期望$\mathbb E[(X-Y)^2 1_{\{|X|\le n\}}]$

第二个等号成立需要拆开后的运算有意义,这里证明每一项都有限:

第三个等号用到了题目中的条件。

所以

令$n\to \infty$可

习题4

证明:

所以

本文标题:高等概率论第十讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月26日 - 23:11:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:12:48

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