高等概率论第十二讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲介绍了几乎处处收敛以及依概率收敛。

1.几乎处处收敛

1.定义与基本性质

定义

基本性质

2.一个有用的刻划

倒数第三行和倒数第二行等价是因为

最后一行可以推出第二行是因为

因为

所以余项$\to 0$,从而

把上面一段讨论总结为如下定理及推论:

定理6.1.1

推论

证明:(1)已证明

(2)证明:由有条件可知,

所以$n\ge n_0$时

因此

从而

B-C引理

证明:

Borel 0-1律

证明:

如果$\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb P(A_n) < \infty$,那么余项$\to 0$,从而

否则对任意$N$,

从而

2.依概率收敛

定义

基本性质

(1)证明:

下述命题给出了几乎处处收敛和依概率收敛的关系:

命题

证明:$\forall \epsilon >0$

该命题的逆命题不成立,但是有如下定理

定理6.2.1

证明:$\Rightarrow$:只需证

取$n_k \uparrow +\infty$,使得

那么

$\Leftarrow$:反证法,如果$X_n \overset{P} \nrightarrow X$,那么$\exists \epsilon_0 >0$,使得

所以存在子列$a_{n_k}$,使得

但是由条件可知,$\{X_{n_k}\}$存在子列$\{X_{n_k’}\}$使得

从而

矛盾。

接下来利用该定理证明基本性质(3)

证明:因为$X_n \overset {P} \to X$,所以${X_{n_k}}$有子列${X_{n_k}’}$满足$X_{n_k’} \overset {a.s} \to X$,又因为$f$连续,所以

由定理定理6.2.1可得

利用性质(3)可以推出性质(2)的全部结论。

习题

习题1

(课本P210/8.1/3)

证明:因为$X$有限,所以

所以$\forall \epsilon >0$,存在$N_1$,使得

因为$X_n \overset{a.s} \to X$,所以

所以存在$N_2 >0$,使得

从而可得

因为$X_n$有限,所以$\forall k\le N_2$,存在$M_k$,使得

现在取

那么

习题2

(课本P215/8.2/2)

证明:因为$X_n \overset{P} \to X$,$f$为有界一致连续函数,所以

找$\{f(X_n)\}$的子列$\{f(X_{n_k})\}$,使得

因为

所以

从而存在$\{X_{n_k}\}$的子列$\{X_{n_k’}\}$,使得

注意到

所以由控制收敛定理可得

所以

注意到

因此

习题3

证明:因为

所以

习题4

证明:因为$f$一致连续,所以$\forall \epsilon>0, \exists \delta >0$,使得$|X_n- X|< \delta$时,

因此

令$n\to \infty$可得

本文标题:高等概率论第十二讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月26日 - 23:13:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:12:33

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