高等概率论第八讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲介绍了符号测度,Lebesgue分解与条件期望的定义。

Chapter 5条件期望

1.符号测度及其分布

考虑如下问题,假设存在随机变量$X$,满足$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\overset{X}\to (\mathbb R,\mathcal B)$,如果$\mathbb E[X]$存在,那么

存在。从这个例子中引出符号测度的定义。

符号测度的定义

注:$\mu$最多只能取$\pm \infty$之一
这是因为

从而产生了矛盾。

关于符号测度有如下定理:

定理5.1.1

这个定理的证明从略,可以参考教材。

定理5.1.2(Hahn分解)

证明:取$N,P$为定理5.1.1中的$N,P$,先证明

利用反证法,若存在$B$,使得

那么

这就与$\mu(P)$最大矛盾,从而$\mu(P\bigcap A)=\sup_{B\subset \Sigma} \mu(B\bigcap A)$成立。进一步,证明

利用之前证明的结论即可,$\forall B\in \Sigma$

从而结论成立。$\mu^+,\mu^-,|\mu|$都是$\Sigma$上的测度利用定义验证即可,$\mu=\mu^+- \mu^-$利用如下事实即可

2.Lebesgue分解

$\mu$-连续以及$\mu$-奇异的定义

这两个定义是为了介绍如下定理:

定理5.2.1

$\sigma$有限的含义是可以把全空间分解为很多小块,每一块都有限。该定理的含义是可以把$\sigma$有限测度分解为$\mu$连续以及$\mu$奇异部分。

定理5.2.2

根据上述定理,如下等式成立

定理5.2.3(分布函数的Lebesgue分解)

证明:注意到$F_c$的导数为$F$的导数,定义

为定义$F_d$,设$\{x_n\}$是$F$的全体间断点(注意$F$为单调函数,单调函数的间断点可列),定义

再定义

那么

(1)

由实分析的结论

因此

(2)设$x_1 < x_2$,那么

其中

(3)

(4)

由定义可知

所以

因此$\hat F_{s,c}$左连续,注意到$F(x) ,F_c(x),\hat F_d(x)$右连续,所以

右连续,因此

若$\hat F_c(+\infty) >0, \hat F_d(+\infty) >0,\hat F_{s,c}(+\infty) >0$,那么

令$x \to +\infty$可得

若$\hat F_c(+\infty) , \hat F_d(+\infty) ,\hat F_{s,c}(+\infty) $某项为$0$,则取对应的$\lambda_i=0$即可

3.条件期望

设$X$是定义在$(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$上实值$r.v$且$\mathbb E[X]$存在,我们有如下命题:

命题

证明:显然$\nu(\varnothing)=0$,所以只需证明第二条性质即可。设$\{A_n\}$互不相交,则

其中倒数第三个等号是因为单调收敛定理。

习题

习题1

(课本P173/7.1/1)

证明:由Hahn分解的定义可知

$\forall A \in \Omega$,注意$\mu_1(A),\mu_2(A)$,所以

由$A$的任意性可得

习题2

(课本P182/7.2/3)

证明:因为

所以

从而可以用定理5.5.2,注意$(\varphi+\varphi’)(A)=\varphi(A) +\varphi’(A)$,所以

因此

因为$\nu \ll \mu$,所以任取可测函数$g$,有

因为$\varphi \ll \nu$,所以$g = \frac{d \varphi}{d\nu}$可测,带入可得

注意到

因此

习题3

(课本P182/7.2/6)

证明:

另一方面,$\varphi(A)$是符号测度,所以有Hahn分解,因此

注意到

所以接下来只要证明反方向的不等式即可,令$C=\{f\ge 0\}$,接着利用定义计算

最后一个不等号是由$\varphi^+(A)$的定义决定的。因此

同理可得

所以

本文标题:高等概率论第八讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月22日 - 22:58:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:13:51

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