高等概率论第九讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲介绍了条件期望的定义与性质。

3.条件期望

1.基本定义

定义:

关于该定义有以下几个注解:

如果$X= 1_{A},A\in \mathcal F$,那么

若$Y$是$(\Omega, \mathcal F,\mathbb P)$上定义,取值于可测空间$(E,\Sigma)$中的随机变量(随机元),则

引理

证明:利用反证法。记

现在假定$\mathbb P(A) >0$,那么

所以不妨假设${\mathbb P(f>g) >0}​$,注意到

所以存在$n_0​$使得

从而

而$\{f> g+\frac 1 {n_0}\} $可测,这就与假定矛盾。

命题

证明:由条件知

由引理可得

2.基本性质

证明:(1)$a \mathbb E[X|\mathcal G]$是$\mathcal G$可测,且$\forall A\in \mathcal G$,我们有

(2)因为$\mathbb E [X|\mathcal G],\mathbb E [Y|\mathcal G]$都可测,所以$\mathbb E [X|\mathcal G] +\mathbb E [Y|\mathcal G]$可测,注意到

(3)$\forall A\in \mathcal G$,我们有

所以

(4)由(3)可得$\mathbb E [X_n |\mathcal G]\uparrow $,记

注意到$\forall A\in \mathcal G$

所以

(5)记

注意到

所以

从而

因为$Y$可积,从而消去$\mathbb E[Y|\mathcal G]$可得

(6)对$X_n$以及$-X_n$应用(5)即可证明(6)

(7)证略,可以得到如下结果

例1

事实上,$\forall A = Y^{-1}(B) ,B\in \mathcal B$,即$A=\{w:Y(w)\in \mathcal B\}$

命题

证明:由于$B$非空,则$\exists w_0 \in B$,记

则$B^ \in \mathcal G$且$B^ \subset B$,因为$B$是原子,所以

注意到

所以该常数为

习题

习题1

(课本P89/7.3/1)

解:

习题2

(课本P89/7.3/2)

解:总时间$T= NX_k$,所以

本文标题:高等概率论第九讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月22日 - 23:01:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:13:41

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