高等概率论第七讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲介绍了Fubini定理与无穷乘积转移概率测度。

2.Fubini定理

定理4.2.1

证明:$f=1_B ,B\in \Sigma_1\times \Sigma_2$时,

当$f= \sum_{i=1}^n b_i 1_{B_i}$时,

当$f$为非负可测函数时,存在非负简单函数$f_n \uparrow f$,则

由上一定理可以得到如下定理:

定理4.2.2

证明:由上一定理可知

所以

例1

设$X$是$(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$上非负$r.v$列,则

最后一个等号是因为$\mathbb P(X> x)$单调,最多有可数多个不连续点,从而

该例子的证明见一下题。

例2

$X$是非负随机变量,那么$\forall r >0$,

证明:

例3

证明:首先将$ a_n(x)$改写为$ a(n,x)$,那么

$a$的映射关系如下

考虑$\mathbb N$上的计数测度

所以

从而

因此由Fubini定理可得

定理4.2.3

证明思路依旧是从示性函数到简单函数再到非负可测函数最后到一般可测函数的步骤处理。

3.无穷乘积转移概率测度

定理4.3.1

例1

证明:取值于$E_n$以及独立性显然,计算概率

该概率等于

习题

习题1

(课本P153/6.2/1)

证明:

习题2

(课本P153/6.2/2)

证明:

注意到

所以

从而结论成立。

习题3

证明:记$A_n =\prod_{i=1}^{n} B_i$,则$A_n \downarrow \prod_{i=1}^{\infty} B_i$,由定义可知

因为$\mu$是概率测度,所以

因此

本文标题:高等概率论第七讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月22日 - 22:57:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:14:23

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