高等概率论第五讲
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记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》。
本讲介绍期望计算以及收敛定理。
3.积分变换和期望计算
定理3.3.1
证明:老师没有给出完整证明,主要讲解了证明思路。
当
接下来的思路是将其推广到非负简单,再到非负可测,最后到一般情形。
推论
定理 3.3.2
证明:先考虑第一个等式,需要验证
当
接下来的思路是将其推广到非负简单,再到非负可测,最后到一般情形。
推论
证明:由定义可知
所以只需要证明
当
为证上式对任意
只要证明
4.收敛定理
定理3.4.1(单调收敛定理)
证明:记
由Levi定理可得
注意
因此
定理3.4.2(Fatou引理)
证明:
注意到
注意到
所以
从而
推论
证明:取
定理3.4.3(控制收敛定理)
证明:利用Fatou引理,注意到此时
所以
所以
习题
习题1
(课本P120/5.3/2)
解:
习题2
(课本P120/5.3/3)
解:
习题3
(课本P121/5.3/8)
解:当
当
当
当
令
关于
合并上述结果可得
习题4
证明:(1)令
那么
那么
注意到
令
因为
(2)证明:令
那么
由单调收敛定理可得
所以
取
所以结论成立。
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