高等概率论第四讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲介绍了独立性以及数学期望。

4.独立性

1.事件与独立性

设$\mathcal C_1,…,\mathcal C_n$是$n$个事件类,称其独立,若

2.随机变量与独立性

设$X_1,…,X_n$是定义在$(\Omega ,\mathcal F, \mathbb P)$上,取值于$\mathbb R^d$中的随机变量(向量),若$\forall B_1,…B_n \in \mathcal B^d$,

则称$X_1,…,X_n$相互独立。

定理2.4.1

证明:仅考虑$d=1$的情形。

$\Rightarrow$:显然,取$B_i = (-\infty, x_i]$即可

$\Leftarrow$:先考虑$n=2$的情形,要证

定义

那么$\mathcal C$为$\pi$系。现在$\forall B_1 =(-\infty, x_1]\in \mathcal C$,我们的目标是证明

定义

我们的目标是证明$\Lambda = \mathcal B$,显然有$\Lambda \subset \mathcal B$,为了证明$\mathcal B \subset \Lambda$,注意到

所以只要验证$\Lambda$是$\lambda$系即可。

1.$\mathbb R \in \Lambda$

2.$B_1,B_2 \in \Lambda,B_1\subset B_2\Rightarrow B_2- B_1 \in \Lambda$

3.$ B_n \in \Lambda ,n\ge1且B_n \uparrow\Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in \Lambda$

定义

所以

因此

(备注:第二个等号是因为事件$X_1\in(-\infty, x_1]$且$X_2\in A_n$互不相交,所以由概率的性质可得)

从而$\Lambda​$为$\lambda​$系。

接着,定义

我们的目标是证明$\Lambda’= \mathcal B$,显然有$\Lambda’ \subset \mathcal B$,为了证明$\mathcal B \subset \Lambda’$,注意到由之前论述可得

所以只要验证$\Lambda’$是$\lambda$系即可。(类似上面验证即可)

命题

此时

Chapter 3 随机变量的数学期望

1.定义与基本性质

1. 定义

注意该定义应该验证唯一性,即如果

则应该$\mathbb E[X]$唯一,下面验证这点。

首先注意

所以

如果$\mathbb P(A_i B_j) =0$,则该项对期望没有影响,否则在$A_i B_j$上有$a_i =b_j$,从而上述计算的期望唯一。

2.基本性质

(2)证明:设

那么

定理 3.1.1(Levi)

推论

证明:取$X_n \uparrow X, Y_n \uparrow Y$,则$X_n +Y_n \uparrow X +Y$,然后利用Levi定理即可。

2.期望性质

定理3.2.1

(2)证明:注意到

注意由于可能涉及正无穷,所以不能直接做移项处理,要分情况讨论。由条件可知

所以可以把涉及无穷的情形全部列出,这里考虑$\mathbb E[X]^{+} ,\mathbb E[Y]^{+}$有限的情形,由(6)可知

所以

移动这$3$个有限项可得

取期望得

两边取负号即可得到目标等式

其余情形类似处理。

(3)注意到

如果$\mathbb E [X] =-\infty$,则结论显然成立,否则

(4)由如下分解即可得到结论

如果$X$可积,则$\mathbb E[X]^{+},\mathbb E[X]^{-}$都有限,从而$\mathbb E [|X|] =\mathbb E[X]^{+}+\mathbb E[X]^{-}$有限,反之亦然。

(5)

推论,取单调递增$f$,则

(7)由$\mathbb E[(t|X| + |Y|)^2]\ge 0$恒成立可得二次函数判别式小于等于$0$

习题

习题1

证明:先证对任意简单随机变量上述结论成立,设

所以

因为$\mathbb P(A) =0,AB_i \subset A$,所以$\mathbb P [ {AB_i}]=0$,从而

由$X= X^+-X^-$,构造两列非负简单随机变量$X_n^+ \uparrow X^+,X_n^- \uparrow X^-$,由上述结论可知

由Levi定理可知

所以

因为$X=Y (a.s)$,所以

因此

本文标题:高等概率论第四讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月19日 - 17:56:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:14:38

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