高等概率论第五讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲介绍期望计算以及收敛定理。

3.积分变换和期望计算

定理3.3.1

证明:老师没有给出完整证明,主要讲解了证明思路。

当$f=1_A,A\in \Sigma$时,

接下来的思路是将其推广到非负简单,再到非负可测,最后到一般情形。

推论

定理 3.3.2

证明:先考虑第一个等式,需要验证$\nu$是测度,取$B_n \in \Sigma$互不相交:

当$g=1_B, B \in q$时,

接下来的思路是将其推广到非负简单,再到非负可测,最后到一般情形。

推论

证明:由定义可知

所以只需要证明

当$B= (-\infty, a]$时,

为证上式对任意$B \in \mathcal B$成立,定义

只要证明$\Lambda = \mathcal B$即可,显然有$\Lambda \subset \mathcal B$,并且$\mathcal C \subset A$,且$\mathcal C$是$\Pi$系,只要验证$\Lambda$是$\lambda$系即可,从而

4.收敛定理

定理3.4.1(单调收敛定理)

证明:记$Y_n =X_n - Y$,则

由Levi定理可得

注意$Y$可积,所以

因此

定理3.4.2(Fatou引理)

证明:

注意到$Y_n \uparrow$且$Y_n \ge Y$,所以由单调收敛定理可得

注意到

所以

从而

推论

证明:取$X_n’= -X_n$,应用Fatou引理即可。

定理3.4.3(控制收敛定理)

证明:利用Fatou引理,注意到此时

所以

所以

习题

习题1

(课本P120/5.3/2)

解:

习题2

(课本P120/5.3/3)

解:

习题3

(课本P121/5.3/8)

解:当$z <0$时,

当$0\le z < 1$时,

当$1\le z < n+1$时,

当$z\ge n+1$时,

令$Z=X+Y$,所以

关于$Z$求导可得

合并上述结果可得

习题4

证明:(1)令

那么

那么

注意到

令$n\to \infty$可得

因为$\mathbb E[|X|] < \infty$,所以

(2)证明:令

那么

由单调收敛定理可得

所以$\forall \epsilon >0, \exists n$,使得

取$\delta \in (0, \frac{\epsilon}{2n})$,当$\mathbb P(A) < \delta$时

所以结论成立。

本文标题:高等概率论第五讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月19日 - 17:57:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:14:49

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