高等概率论第六讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲介绍乘积测度与独立性。

Chapter 4乘积测度与独立性

1.有限维情形

1.乘积测度

定理4.1.1

证明该定理之前,需要利用截口的概念。

截口定义

现在利用上述定义证明定理4.1.1

证明:$\forall A \in \Sigma_1\times \Sigma_2$,定义

要验证$\mu$是概率测度,就要验证非负性,规范性和可列可加性。非负性显然,接着验证规范性,当$A= E_1\times E_2$时,

所以

规范性也成立。最后验证可列可加性,任取$A_n \in \Sigma_1\times \Sigma_2$且互不相交,则

(备注,严谨来说,这里要证明$\mu_2(A(x_1))$可测,可以参考课本135页定理6.1.9)

可以把上述结论推广至$n$维情形

定理4.1.2

证明:$\Rightarrow$:

由概率测度的唯一性可知$\mu= \mu_1 \times \mu_2$

$\Leftarrow$:

卷积公式

证明:

2.由初始分布和转移概率决定的测度

考虑如下问题:取$Z=(X,Y), A=(A_1,A_2)\in {\Sigma}_1 \times {\Sigma}_2$,那么

这就引出了转移概率测度的概念:

转移概率测度的定义

定义:

定理4.1.3

习题

习题1

(课本P145/6.1/3)

(1)证明:设$X_1 +X_2$的概率分布测度为$ P$,分布函数为$F$,概率密度为$p$,现在$\forall B\in \mathcal B^n$

(2)证明:因为

所以

令$t= u-y$,那么

所以分布密度为

(3)证明:记$\mathbb R^n$中分布测度全体为$A$,任取$P_1,P_2,P_3$,对应的随机变量为$Z_1,Z_2,Z_3$,由(1)可知

因为

所以

所以$A$对卷积运算构成半群。又因为

从而

因此$A$为交换半群。

习题2

(课本P145/6.1/8)

证明:先证$\forall x \in [0,1]$,$\lambda(x,.)$为测度。

1.因为

所以

非负性得证。

2.

因为$f(x,y)$非负,所以由单调收敛定理可得

可列可加性得证。结合以上两点可知$\forall x \in [0,1]$,$\lambda(x,.)$为测度。

再证$\forall B\in \mathcal B[0,1]$,$\lambda(.,B)$为可测函数。先对$f(x,y)= I_A(x,y)$的情形证明结论,构造两个集合:

接着$\forall A=A_1\times A_2 \in C$,

其中$\mu$表示勒贝格测度,注意到$A_1 \in \mathcal B[0,1]$,$\mu(A_2 B)$为常数,所以此时$\lambda(x,B)$可测,因此

任取$A’=A_1’ \times A_2’,A’’=A_1’’\times A_2’’ \in C$,那么

从而$C$为$\pi$系。所以为证$S$为$\sigma$代数,只要证明$S$为$\lambda$系即可。

1.当$A=[0,1]\times [0,1]$时,

因为常数显然可测,所以$[0,1]\times [0,1] \in S$

2.$\forall A_1, A_2 \in S, A_1 \subset A_2$

因为可测函数的差可测,所以

3.$\forall A_n \in S, A_n \uparrow$且$\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n =A$

因为可测函数的极限可测,所以

因此$S$为$\lambda$系,从而$S$为$\sigma$代数。

由可测函数的线性性和可加性可知,如果$f$为非负简单函数,即$f = \sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i}$时,$\lambda(x,B)$可测。

对于一般的非负有界可测函数,存在非负简单函数$f_n(x,y)\uparrow f(x,y)$,从而

也可测。综上可知,$\lambda(x,B)$可测。

本文标题:高等概率论第六讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月19日 - 17:59:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:14:44

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