高等概率论第三讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲介绍随机变量的构造以及随机变量的概率分布。

2.随机变量的构造

简单随机变量和初等随机变量的定义

设$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$为概率空间,形如

的$X$为简单随机变量。形如

的$X$为初等随机变量。

定理2.2.1

(1)证明:按$X$的值域划分可得随机变量$X_n$

比较$X_n$和$X_{n+1}$,先考虑范围$\frac{k-1}{2^n}\le X < \frac{k}{2^n}$,对应的$X_n =\frac{k-1}{2^n} $,注意到

在$\frac{2k-2}{2^{n+1}}\le X < \frac{2k-1}{2^{n+1}}$范围内,

在$\frac{2k-1}{2^{n+1}}\le X < \frac{2k}{2^{n+1}}$范围内,

接着考虑范围$X \ge n$,此时$X_n = n$,而$X_{n+1}$的范围是

综上,$X_n \le X_{n+1}$。

接着比较$X_n(w)- X(w)$

从而

不难看出有

(2)取

那么

从而

不难看出有

备注(1)(2)的区别在于(1)的$n$和$ X(w) = +\infty$有关,从而和$w$而有关,而(2)中的$n$和$w$无关

(3)类似(1)可得

因为$X$有界,所以当$n$充分大时

从而$n$充分大时,

所以

此时显然有

(4)注意有如下分解

利用(1)(2)可以找到$X_n ^+ \uparrow X^+, X_n^- \uparrow X^-$(一致),且

所以

注意到

从而结论成立。

命题

定理 2.2.2

这个定理老师没有给出完整证明,思路是先考虑$Y$是$A$的示性函数函数,那么由定义可知,

那么

接着考虑简单函数的情形,最后由定理2.2.1推广至一般情形。

3.随机变量的概率分布

概率分布的定义

设$X$是定义在$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$上,取值于$(\mathbb R^d, \mathcal B^d)$的中的$r.v$,定义

则$\mu_X$是$(\mathbb R^d, \mathcal B^d)$上概率测度,称为$X$(在$\mathbb P$上)的概率分布

分布函数的定义

定义

定理2.3.1

证明:取$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)= (\mathbb R^d, \mathcal B^d, \mu)$,定义随机变量$X(w)=w$即可,下面验证这点。

验证其为随机变量:

验证其为概率分布:

例1

考虑二项分布$b(n,p)$,概率空间为

再定义

或取

习题

习题1

证明:

1.取$B= \mathbb R^d$可得

2.$\forall A\in X^{-1}(\mathcal B^d)$,存在$B\in \mathcal B^d$,使得$A = X^{-1}(B)$,注意到$B^C \in \mathcal B^d$,所以

3.取$A_n \in X^{-1}(\mathcal B ^d)$,那么存在$B_n \in \mathcal B^d$使得$A_n = X^{-1}(B_n)$,注意$\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \in \mathcal B^d$,所以

结合以上$3$点可得$X^{-1}(\mathcal B ^d) $是$\Omega$上的$\sigma$代数。

习题2

(课本P87/4.1/9)

证明:设$X,Y$是定义在$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$,取值于$(\mathbb R^d, \mathcal B^d)$的随机变量,$f$是$(\mathbb R^d, \mathcal B^d)$到$(\mathbb R^m, \mathcal B^m)$映射

因为$X,Y$同分布,所以

因为$f$为Borel可测,所以

在任取$C\in \mathcal B^m$,我们有

从而$f(X)$与$f(Y)$同分布

习题3

构造$X\sim E(\lambda)$的随机变量

解:设$G(x)= 1-e^{-\lambda x}$,取概率测度$\mathbb P$为$(\mathbb R, \mathcal B)$上由$G$决定的$L-S$测度,则$(\mathbb R, \mathcal B,\mathbb P)$是一个概率空间,再定义$X(w)=w$,所以$X$的分布函数为

从而$X\sim E(\lambda)$

本文标题:高等概率论第三讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月18日 - 21:50:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:14:57

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