台大实分析单元 11 外测度 2

这一部分继续介绍外测度。

回顾外测度的定义:

映射$\mu:2^{\Omega} \to [0,\infty]$被称为外测度如果满足如下三个条件:

回顾$\mu​$可测的概念:

注意到由外测度的定义可得:

所以为了证明$A$为$\mu$可测,只要证明

由定义不难看出有如下结论:

Remark

例 1

$\Omega$上计数测度是一个外测度,$\Omega$的任意子集关于计数测度(外)可测。

下面考虑在$\mathbb R$上定义的勒贝格外测度

Lebesgue(outer measure) on $\mathbb R$

为了方便后续讨论,我们对每个开区间的长度加以限制,有如下定义:

关于上述集合有如下重要引理:

Lemma 1

证明:

由定义显然有

那么

接着考虑如下[Claim]:

这个结论的证明通过画图即可说明,这里叙述下思路,首先将$I$等分为$k$个开区间,每个区间长度为$\frac {|I|}k$,然后每个开区间左右两侧分别扩张$\frac \delta {2k}$,则区间的总长度小于$|I|+\delta$,取$\epsilon = \frac {|I|+\delta}k$即可满足条件。

现在给定$\delta >0$,$\{I_n\}$是一列开区间,使得$A\subset \bigcup_n I_n$,对每个$n$,根据[Claim],存在开区间$I_n^{(1)},…,I_n^{(k_n)}$,使得

那么显然有

因此

注意到$\sum_{n}|I_n|\in \Lambda(A)$,所以上述事实说明,对于$\delta>0$以及$\alpha \in \Lambda(A)$,存在$\beta \in \Lambda_{\epsilon}(A)$使得$\beta<\alpha+\delta$,这说明对于任意$\alpha \in \Lambda(A)$

因此

令$\delta \to 0$,那么

结合两个方向的不等式可知

我们自然希望开区间的长度与其外测度相等,事实上,有如下结论:

Proposition 1

证明:

首先证明可测性。

令$I=(a,b)$,对于$0<\epsilon<\frac 1 2(b-a)$,令$J=(a+\epsilon,b-\epsilon)$

对于$A\subset \mathbb R$,考虑开区间列$\{I_n\}$,满足$|I_n| < \epsilon$,并且$A\subset \bigcup_n I_n$

定义如下集合

显然$\vartheta_1 \bigcap \vartheta_1=\varnothing$(画图即可说明),因此

因为$A\subset \bigcup_n I_n,A\subset (\bigcup_n I_n)\bigcap A​$,所以

那么由$\lambda ​$的定义可知

从而

注意到$\sum_{n=1}^{\infty}|I_n| \in \Lambda_{\epsilon}(A)$,那么

注意到

从而

那么

令$\epsilon\to 0​$可得

因为另一个方向的不等式自然成立,从而

从而开区间$|I|$为$\lambda​$可测。

接下来只要证$\lambda (I)=|I|$即可,显然有

我们需要证明如下结论

注意到如果$J\subset \bigcup_{n=1}^k I_n$,其中$I_n$是一个有限开区间,$J$是一个闭区间,那么

其次有如下结论:

反证法,如果上述结论不成立,对于每个$k$,存在$x_k\in J$使得$x_k \notin \bigcup_{n=1}^k I_n$,将这样的$x_k$记为$\{x_k\}\subset J$,那么存在$\{x_k\}$的子列$\{x_{n_k}\}$收敛到$x_0$,由收敛的定义可知,存在$k_0$,使得$n_k > k_0$时,$x_{n_k} \in I_{k_0}$。

由定义可知$x_{n_k} \notin \bigcup_{n=1}^{n_k} I_n$,当$n_k > k_0$时,

这就引起了矛盾,所以原结论成立。

结合之前论述可知

从而

我们选择$J_n$为闭区间列,且$|J_n| \to |I| $可得

最后证明$\mu$可测的子集族全体构成$\sigma$代数

Theorem 2

证明:

这里使用$\lambda -\pi$系方法证明,先验证几条有用的性质:

这是显然的,根据定义即可验证。

这个事实依旧显然。

令$B\in \Omega$,那么

这里解释下最后一个不等号,注意

所以

因此

利用数学归纳法和结论(iii)可得

利用结论(ii)和(iii)可得

上述结论说明,

由$\lambda -\pi$系方法可知,我们只要验证${\Sigma}^{\mu}$是一个$\lambda$系即可,显然$\lambda$系的前两个性质满足,只要验证最后一个性质即可。

首先证明如下事实

证:

注意到

令$n\to \infty$可得

由(外)测度的性质可知

那么

利用上述结论验证$\lambda$系定义的最后一点

取$B\subset \Omega​$,那么

如果$\sum_{j=1}^\infty \mu(B\bigcap A_j)<\infty$,那么令$n\to \infty$可得

如果$\sum_{j=1}^\infty \mu(B\bigcap A_j)=\infty​$,那么

从而

结合以上几点可得

结论(i),(ii),(v)推出${\Sigma}^{\mu}​$是$\lambda​$系,从而

结论(iv)推出$\mu$在${\Sigma}^{\mu}$上$\sigma​$可加。