台大实分析单元 12 外测度 3

这一部分继续介绍外测度。

回顾上次内容:

Theorem 2

Remark

因为每个零集都可测,所以

继续回顾上次结论

定理2可以推出,$\mathbb R$上开集可测(因为开集为开区间的可列并),这也可以推出闭集可测,从而所有的Borel集合可测。

接下来介绍如何从准测度构造(外)测度

Constructing a measure from a premeasure

注意$\tau$为之前定义的准测度,现在按如下方式定义$\tau^* :2^{\Omega}\to [0,\infty]$

那么$\tau^​$是$\Omega​$上外测度,$\tau^​$被称为从利用method 1从准测度$\tau​$构建的外测度(这里之所以说method 1,是因为后面还有method 2)

例 1 $\mathbb R^n$上勒贝格(外)测度

上述定义的$I_1 \times…\times I_n$被称为$\mathbb R^n$上定向开矩形(oriented open retangle),定义

那么$\tau$是一个准测度,因为$\tau(\varnothing) =0$,通过method 1从$\tau$构造的测度$\tau^ {*}$被称为$\mathbb R^n$上勒贝格(外)测度,并且表示为$\lambda^n(\lambda^1=\lambda)$,$\lambda^n$可测集被称为(勒贝格)可测集,$\lambda^n$可测函数(${\Sigma}^{\lambda}$可测)函数被称为(勒贝格)可测函数,为方便叙述,记$\mathcal L^n = {\Sigma}^{\lambda^n},\mathcal L^1 =\mathcal L$

以下部分主要针对作业,和主干内容关系不大。

现在定义度量空间中紧集的概念

关于紧集有如下结论:

Theorem(Lebeague number)

证明:

假设结论不成立,那么对于任意$k\in \mathbb N​$,存在$K​$的子集$S_k​$满足直径$\le \frac 1 k​$,使得$S_k​$不被任意$G_{\alpha}​$包含。选择$x_k \in S_k​$,$k=1,2,…​$,$\{x_k\}​$是$K​$中序列,根据$K​$的紧性,$\{x_k\}​$存在收敛子列$\{x_{n_k}\}​$收敛到$x_0​$,因为$x_0 \in K​$,所以存在$\alpha​$使得$x_0 \in G_{\alpha}​$,由收敛的性质可知,当$k​$充分大时,$S_{n_k}\subset G_{\alpha}​$(这部分是因为当$k​$充分大时,$x_{n_k}\in G_{\alpha}​$,由于$x_{n_k}\in S_{n_k}​$且$S_{n_k}​$的直径小于等于$\frac 1 {n_k}​$,所以当$k​$充分大时,$S_{n_k}\subset G_{\alpha}​$)

这就产生了矛盾,所以原结论成立。

下面看一些勒贝格可积的例子:

例 2

解释:

左边是勒贝格积分,$\lambda^n$是之前定义的测度,右边是黎曼积分,这个结论的含义是,对于连续函数,勒贝格积分和黎曼积分相同,证明方法是将黎曼积分化为黎曼和的形式,黎曼和可以理解为简单函数的勒贝格积分,这样就可以将右边表示为简单函数的勒贝格积分,然后利用勒贝格控制收敛定理可以推出黎曼和的极限即为左边。

例 3

证明:

因为绝对收敛,那么

所以