台大实分析单元 10 外测度 1

这一部分介绍了外测度的基本概念。

Unit 4 Outer measure

考虑全集$\Omega$,定义在$\Omega$的全体子集上的非负集合函数$\mu$被称为外测度,如果满足如下三个条件:

$\Omega$上外测度常常被被简称为测度(注意之前的测度是定义在$\sigma$代数上的,所以这样称呼不会引起歧义)

给定$\Omega$上外测度$\mu$,定义$\Omega$的子集$A$为$\mu​$可测,如果

或者

下面给出可测集的例子:

例 1

$\Omega, \varnothing$都是可测集

例 2

如果$\mu (A) = 0$,那么$A$可测,这是因为

从而

勒贝格外测度

考虑$\mathbb R$上勒贝格外测度。

令$\Phi$是$\mathbb R$上全体开区间$(a,b) ,a\le b$的全体,按如下方式定义$\Phi$上集合函数$\sigma$:

对于$A\subset \mathbb R$,用$\Lambda (A)$表示所有形如$\sum_n \sigma(I_n)$的数,其中$\{I_n\}\subset \Phi$,并且$A\subset \bigcup_n I_n$,我们定义

Claim

证明:

接下来只要证明$\lambda$是$\sigma$次可加,即

为了证明上述结论,我们不妨假设对于任意$n$,$\lambda(A_n) < \infty$(否则结论显然成立)。由下确界定义可知,给定$\epsilon>0$,存在$\alpha_n \in \Lambda (A_n)$,使得

其中$\alpha_n = \sum_{k} \sigma(I_k^{(n)})$并且$A_n\subset \bigcup_k I_k^{(n)}$,那么

那么

令$\epsilon \to 0$即可证得结论。