台大实分析单元 9 度量空间 2

这一部分介绍了巴拿赫空间的概念。

给定一个度量$(M,\rho)$,按如下方式定义序列:

接着给出极限的定义:

仿照数学分析中定义柯西序列:

同数学分析中一样,如果$\lim_{n\to \infty} x_n$存在,那么$\{x_n\}$是柯西序列;柯西序列收敛当且仅当存在一个子列收敛。

定义度量空间的完备性:

完备度量空间的例子:

赋范线性空间(Normed Vector Space)

假设$E$是一个向量空间(实空间或者复空间),一个函数$||.||:E \to \mathbb R$如果满足如下条件,那么称其为$E$上的范数:

如果一个向量空间$E$上定义了范数$||.||$,那么称其为范数为$||.||$的赋范线性空间(n.v.s),用$(E,||.||)$表示。

赋范线性空间的例子:

现在我们把赋范线性空间和之前定义的度量联系起来。

对于一个赋范线性空间$(E,||.||)$,我们在其上用$\rho(x,y) = ||x-y||,x,y\in E$定义度量。

如果一个赋范线性空间是完备的,那么称其为巴拿赫空间,$\mathbb R ^n ,\mathbb C^n,C[a,b]$都是巴拿赫空间。

接下来我们考虑最重要的空间$L^P(\Omega,\Sigma,\mu)$,给出如下定义:

Remark:

证明:

如果$||f||_{\infty} = \infty​$,那么结论显然成立;如果$||f||_{\infty} < \infty​$,那么存在$\{M_n\}​$,使得$\{M_n\} \downarrow ||f||_{\infty} ​$并且对每个$n​$,$|f| \le M_n(a.e)​$。这说明对每个$n​$,存在一个零测集$N_n​$,使得对于任意$x\in \Omega \setminus N_n​$,$|f| \le M_n​$,选择$N = \bigcup_n N_n​$,那么$N​$是一个零测集,并且对于任意$x\in \Omega \setminus N​$,可以推出$x\in \Omega \setminus N_n​$,从而

令$n\to \infty$,

为了说明$L^P(\Omega,\Sigma ,\mu)$是度量空间,我们需要证明著名的赫尔德不等式:

Theorem 5 (Hölder’s inequality)

在证明这个定理之前,我们先证明一个基本的不等式:

当$\alpha,\beta,\zeta,\eta$中有一个元素为$0$时,结论显然成立,所以不妨假设$0< \alpha ,\beta <1$以及$\zeta,\eta>0$,由于$\alpha <1$,对于任意$x\ge 0$,由泰勒展开可得

令$y=1+x \ge 1$,那么上述不等式可化为

显然$\zeta \eta ^{-1}\ge 1$和$\zeta ^{-1}\eta \ge 1$至少有一个成立,如果$\zeta \eta ^{-1}\ge 1$,那么选择$y =\zeta \eta ^{-1}$,带入可得

当$\zeta ^{-1}\eta \ge 1$时同理带入$y^{\beta} \le \beta y + \alpha$即可

定理5的证明:

不失一般性,我们可以假设$0< ||f||_p,||g||_q <\infty$,因此$|f|,|g| <\infty (a.e)$

如果$p=\infty$,那么$q=1$,所以

从而此时结论成立,同理$q=\infty​$时结论也成立,所以我们后续只要讨论$1 <p,q <\infty​$的情形。

由于除去一个零测集,$|f|,|g| <\infty $,所以令

注意$\frac 1 p +\frac 1 q =1$,将其带入刚刚证明的不等式可得

两边关于$\Omega$积可得

接下来证明闵可夫斯基不等式

Theorem 6 (Minkowski inequality)

证明:

当$p=1$时,利用三角不等式即可证明结论;当$p = \infty$时,

所以由定义可知

所以不妨假设$1 < p <\infty$,注意$\frac 1 p + \frac 1 q = 1$可以推出$pq-q =p$,那么

如果$0<||f+g||_p <\infty$,那么对上述不等式两边同除$||f+g||_p ^{\frac p q}$即可;否则可由如下事实证明结论:

该事实在作业中会证明。

令$\mathscr L ^p(\Omega, \Sigma,\mu)$是满足$||f||_p < \infty$可测函数全体,我们希望$\mathscr L ^p(\Omega, \Sigma,\mu)$是线性空间,但是由于几乎处处相等的原因,$\mathscr L ^p(\Omega, \Sigma,\mu)$并不是线性空间,考虑商集$L^p(\Omega,\Sigma,\mu)=\mathscr L ^p(\Omega, \Sigma,\mu) / \sim$,其中等价关系$\sim$表示$f\sim g \Leftrightarrow f=g(a.e)$,从而$L^p(\Omega, \Sigma,\mu)\mathscr =\frac{L ^p(\Omega,\Sigma,\mu)}{N(\Omega,\Sigma,\mu)}$,$N(\Omega,\Sigma,\mu) = \{可测函数f: f=0(a.e)\}$

$L^p(\Omega, \Sigma,\mu)$中的元素$[f]$是等价类,其中$f\in \mathscr L ^p(\Omega, \Sigma,\mu)$,为方便起见,简写为$f$。我们在$L^p(\Omega,\Sigma,\mu)$上定义范数$||[f]||_p = ||f||_p$,这个定义是良好的,这是因为几乎处处为$0$的函数积分为$0$。

有了这些说明我们可得$L^p(\Omega, \Sigma,\mu)$是线性空间,接下来将说明$L^p(\Omega, \Sigma,\mu)$是巴拿赫空间。

Theorem 7

证明:

当$p = \infty$时,如果当$n,m \ge N$时,$||f_n-f_m||_p < \epsilon$,那么由$|f| \le |f|_{\infty}$可得

从而$f_n,f_m$一致收敛,由数学分析中的结论可知上述命题成立,所以接下来证明$1\le p <\infty$的情形即可。

令$\{f_n\}$是$L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)$中的柯西序列,那么存在一个递增序列$\{n_k\}$使得如下事实成立:

这里简单说明下这个事实。

因为$\{f_n\}$是$L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)$中的柯西序列,所以存在$n_1 $使得如下事实成立:

同理存在$n_2$使得如下事实成立:

按这个方式继续取可以得到$\{n_k\}$

接着令

注意$g_l $单调,那么由单调收敛定理以及Minkowski不等式可得

所以$|g|^p​$可积,由定义可知$g \in L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)​$,从而$|g(x)| < \infty(a.e)​$,那么对于$k > l​$,我们有

所以当$l\to \infty​$时,上式$\to 0​$

这说明$\{f_{n_k}(x) \}$是$\mathbb R$中柯西序列,因此$f_{n_k}(x) \to f(x)$。由于$|g(x)| < \infty(a.e)$,那么

注意我们有$|f_{n_k} |\le |f_{n_1} | + g​$,这是因为

令$k \to \infty$可得

因为$g,f_{n} \in L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)$,那么由Minkowski不等式可知$f\in L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)$

由三角不等式可得

因为$f,g ,f_{n_k} \in L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)​$,所以

那么利用勒贝格控制收敛定理可得

因为$\{f_{n_k} \}$是柯西序列,上述事实可以推出

(备注:这是因为柯西序列收敛当且仅当有一个收敛子列)

因此$ L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)$是完备的,即$ L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)​$是巴拿赫空间。