台大实分析单元 5 测度与积分 1

这一讲开始介绍测度与积分。

Unit 3 Measure and integration

首先依旧给出以下记号:

回忆:

接着给出$\sigma$可加的定义:

注意,如果$\mu$在$\mathscr A$上$\sigma$-可加,那么

测度空间:

例1(计数测度)

在$2^{\Omega}$上如下定义集合函数$\mu$:

那么$(\Omega,2^{\Omega}, \mu)$是一个测度空间并且$\mu$被称为$\Omega$上计数测度。

例2(离散概率空间)

令$\Omega$是可数集,即$\Omega =\{w_1,w_2,w_3,…\}$,$\{P_n\}$是非负数列并且$\sum_n P_n=1$,$\sum =2^{\Omega}$。对于$A\subset \Omega$,令

那么$(\Omega,2^{\Omega},P)$是一个概率空间(更准确的,是一个离散概率空间)

Integration

现在我们固定一个测度空间$(\Omega, \Sigma ,\mu)$,假设$f$是一个取值于$\{\alpha_1,…,\alpha_k\}$的简单函数,那么$f​$可以表示为如下形式:

用如下方式定义积分$\int_{\Omega} f d\mu​$:

特别的,对于非负简单函数$f$,$\int_{\Omega} f d\mu$都有定义。

接着对非负可测函数定义积分:

$f$是一个非负可测函数,定义

可以看到,如果$f$是一个简单函数,那么这个定义和之前的定义相同。

最后对一般可测函数定义积分:

$f$是一个可测函数,定义

例3

考虑$\Omega$上的计数测度$\mu$,对于$\Omega$上可测函数$f$,$f$可积当且仅当对于任意$x\in \Omega$,$f(x)$有限并且$\{f(x)\}_{x\in \Omega}$可加。

例4

考虑例2中的离散概率空间,概率空间上的一个可测函数$f$被称为一个随机变量,如果$\int_{\Omega} f dP $有定义,并且$\int_{\Omega} f dP $被称为随机变量$f$的期望。在离散概率空间中,$\int_{\Omega} f dP $有限当且仅当$\{f(w_n)P_n\}_{n\in \mathbb N}$可加。

接着考虑极限有关的定义。

令$\{A_n\}$是$\Omega$中子集序列,定义上下极限:

注意$ \bigcap_{n\in\mathbb N} \bigcup_{k\ge n} A_k​$的含义是属于无穷多个$A_n​$的元素的全体,$ \bigcup_{n\in\mathbb N} \bigcap_{k\ge n} A_k​$表示属于除了有限多个$A_n​$以外其余全部$A_n​$的元素全体,显然我们有

如果$\underset{n\to \infty}{\lim \sup} A_n =\underset{n\to \infty}{\lim \inf} A_n$,那么这个共同的极限被称为$\{A_n\}$的极限,用$\lim_{n\to \infty} A_n$表示

例5

如果$A_n\uparrow $,那么$\lim_{n\to \infty} A_n = \bigcup_n A_n$;如果$A_n\downarrow $,那么$\lim_{n\to \infty} A_n = \bigcap_n A_n$。

Lemma 1(单调极限引理)

证明:

令$B_n = A_n \setminus A_{n-1}(n\ge 1),A_0=\varnothing$,$A=\bigcup_n A_n$。注意$A_n =\bigcup_{k=1}^n B_k$,那么$A=\bigcup_k B_k$,因此

同理可得如下推论:

Corollary 1

Theorem 1 (Egoroff)

证明:

Step 1:

首先我们声明如下结论成立:

来证明这个结论:

对于$n\in \mathbb N​$,令

显然$C_n\uparrow$,并且由于在$A$上,$f_n\to f$,所以$C_n\uparrow A$,因此$A =\bigcup_n C_n$,那么

因此存在$N\in \mathbb N$,使得$\mu(A\setminus C_N) <\epsilon$,我们取$C= C_N$即可。

Step 2:

现在有$\epsilon>0$,根据Step 1,对每个$m\in \mathbb N$,存在$N_m\in \mathbb N$以及$C_m \in \Sigma$,$C_m\subset A$,使得如下事实成立:

取$B=\bigcap _m C_m \in \Sigma,B\subset A​$,那么

给定$\sigma>0$,选择$m_0\in \mathbb N$,使得$\frac 1{m_0} <\sigma$,那么对于$n\ge N_{m_0}$以及任意$x\in B \subset C_{m_0}$,我们有

所以$f_n$在$B$上一致收敛于$f$