这一讲开始介绍了单调收敛定理以及几乎处处的概念。

Therorem 2 单调收敛定理

证明：

由于$f_n\uparrow$，所以

又由于$f_n$非负，因此

所以我们只要证明另一个方向的不等式即可。

为了证明

我们只要证明如下事实：

对于$0\le \lambda < \int_{\Omega} \lim_{n\to \infty} f_n d\mu$，由积分的定义可知，存在一个简单函数$g = \sum_{j=1}^l \alpha_j I_{A_j} ,A_j \in \Sigma$，使得$\lambda < \int_{\Omega} g d\mu$。

由定义可得：

对于$n\in \mathbb N​$以及$1\le j \le l​$，令

由$f_n \uparrow$可知$A_j^{(n)} \uparrow$，并且$\lim_{n\to \infty} A_j^{(n)} =A_j$

接着令$g_n = \sum_{j=1}^l(\alpha_j -\epsilon) I_{A_j^{(n)}}$，如果$x\in A_j^{(n)}$，$g_n(x) = \alpha_j -\epsilon <f_n(x)$，如果$x\notin A_j^{(n)}$，$g_n(x) = 0\le f_n(x)$，所以

注意$A_j^{(n)} \uparrow A_j$，那么由引理1(单调极限引理)可得

如果对每个$j$，$\mu(A_j) <\infty$，对上式令$\epsilon \to 0$可得：

如果存在某个$j$，使得$\mu(A_j) = \infty$，那么

所以无论那种情况，令$\epsilon \to 0$都可以得到

从而

注意$0\le \lambda < \int_{\Omega} \lim_{n\to \infty} f_n d\mu$，那么由$\lambda$的任意性可得：

因此结论得证。

接着给出一些有关积分的结论

(i)如果$f$和$g$是非负简单函数，$\alpha ,\beta$是非负实数，那么

(ii)如果$f$和$g$是非负可测函数，$\alpha ,\beta$是非负实数，那么

注意(i)根据定义验证即可，(i)推(ii)可以用单调收敛定理。

(iii)如果$f$和$g$是非负可测函数，并且$f \le g$，那么

先证明简单函数情形，接着使用单调收敛定理。

接着介绍零测集的概念：

几乎处处的概念：

来看几个具体例子：

例1

(i)$f_n\to f (a.e.)$对于$A\in\Sigma$意味着存在$A$中的零集$N$，使得

(ii)一个函数$f$在$A\in \Sigma$上几乎处处有定义，如果存在$A$中的零集$N$，使得

定义：

注意上述定义和$N$无关。

定义：

例2

如果$f$和$g$几乎处处相等并且$\int_{\Omega} f d\mu$存在，那么$\int_{\Omega} gd\mu$存在，并且

之前介绍的定理都可以改写为几乎处处成立的版本。

Theorem 1 Egoroff Therorem

Theorem 2 单调收敛定理