台大实分析单元 6 测度与积分 2

这一讲开始介绍了单调收敛定理以及几乎处处的概念。

Therorem 2 单调收敛定理

证明:

由于$f_n\uparrow$,所以

又由于$f_n$非负,因此

所以我们只要证明另一个方向的不等式即可。

为了证明

我们只要证明如下事实:

对于$0\le \lambda < \int_{\Omega} \lim_{n\to \infty} f_n d\mu$,由积分的定义可知,存在一个简单函数$g = \sum_{j=1}^l \alpha_j I_{A_j} ,A_j \in \Sigma$,使得$\lambda < \int_{\Omega} g d\mu$。

由定义可得:

对于$n\in \mathbb N​$以及$1\le j \le l​$,令

由$f_n \uparrow$可知$A_j^{(n)} \uparrow$,并且$\lim_{n\to \infty} A_j^{(n)} =A_j$

接着令$g_n = \sum_{j=1}^l(\alpha_j -\epsilon) I_{A_j^{(n)}}$,如果$x\in A_j^{(n)}$,$g_n(x) = \alpha_j -\epsilon <f_n(x)$,如果$x\notin A_j^{(n)}$,$g_n(x) = 0\le f_n(x)$,所以

注意$A_j^{(n)} \uparrow A_j$,那么由引理1(单调极限引理)可得

如果对每个$j$,$\mu(A_j) <\infty$,对上式令$\epsilon \to 0$可得:

如果存在某个$j$,使得$\mu(A_j) = \infty$,那么

所以无论那种情况,令$\epsilon \to 0$都可以得到

从而

注意$0\le \lambda < \int_{\Omega} \lim_{n\to \infty} f_n d\mu$,那么由$\lambda$的任意性可得:

因此结论得证。

接着给出一些有关积分的结论

(i)如果$f$和$g$是非负简单函数,$\alpha ,\beta$是非负实数,那么

(ii)如果$f$和$g$是非负可测函数,$\alpha ,\beta$是非负实数,那么

注意(i)根据定义验证即可,(i)推(ii)可以用单调收敛定理。

(iii)如果$f$和$g$是非负可测函数,并且$f \le g$,那么

先证明简单函数情形,接着使用单调收敛定理。

接着介绍零测集的概念:

几乎处处的概念:

来看几个具体例子:

例1

(i)$f_n\to f (a.e.)$对于$A\in\Sigma$意味着存在$A$中的零集$N$,使得

(ii)一个函数$f$在$A\in \Sigma$上几乎处处有定义,如果存在$A$中的零集$N$,使得

定义:

注意上述定义和$N$无关。

定义:

例2

如果$f$和$g$几乎处处相等并且$\int_{\Omega} f d\mu$存在,那么$\int_{\Omega} gd\mu$存在,并且

之前介绍的定理都可以改写为几乎处处成立的版本。

Theorem 1 Egoroff Therorem

Theorem 2 单调收敛定理