台大实分析单元 4 测度 2

这一讲继续讨论测度以及可测性,介绍了很多新的概念。

符号含义:

首先给出示性函数的定义:

关于示性函数有如下命题:

这个结论只要根据定义验证即可。

关于$-\infty$和$\infty$的运算给出如下规则:

之前可测函数的定义为$\{f>\alpha\} \in \Sigma$,由于

结合$\sigma$代数的性质可知,所以如果$f$可测,那么上述集合均属于$\Sigma$

类似的,如果$f$可测,如下集合均属于$\Sigma$

再给出一些符号的含义。

对于$\Omega$上的函数族$\{f_\alpha\}$,用如下方式定义$\inf_{\alpha} f_{\alpha}$以及$\sup_{\alpha} f_{\alpha}$

再给出$\lim_{n\to \infty}\inf f_n​$以及再$\lim_{n\to \infty}\sup f_n​$的定义

再给出简单函数的定义:

对函数极限给出如下定义:

上面一部分主要是一些定义的说明,这里给出定理2

Theorem 2

证明:

按照如下方式定义$A_1,A_2,…​$

注意$f(w) = 0$等价于$w\in \Omega \setminus \bigcup_j A_j$,所以接下来只要证明当$w\in \bigcup_j A_j$时两边相等即可。

[Case 1] 存在有限多个$j$使得$w\in A_j$

如果只存在有限多个$j$使得$w\in A_j$,令$j_0$是最大的$j$,使得$w\in A_j$,那么$I_{A_{j_0 +s}}(w) = 0$,从而利用$w\in A_{j_0}$的定义可得

另一方面,对于$j>j_0$

令$j\to \infty$可得

结合两个方向的不等式可得

所以Case 1正确。

[Case 2] 存在无限多个$j$使得$w\in A_j$

由条件可得,对于无限多个$j$,我们有

令$j\to \infty$可得

接着继续分两种情形讨论:或者存在$n\in \mathbb N$,使得当$j\ge N$时,$w\in A_j$;或者存在无限多个$j$使得$w\notin A_j$

在前一种情形下,

所以

此时结论成立。

在后一种情形下,对于无限个$j$,下式成立

令$j\to \infty$可得

从而结论也成立。

上述定理有以下推论:

Corollary 1

只要按照定理2中的定义取$A_j$,然后如下构造$s_n$即可