台交大随机过程 Lecture 5

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这次回顾第五讲,介绍了功率谱密度,对应视频12。

功率谱

功率谱

WSS过程$\boldsymbol{x}(t)$的功率谱$S_{x x}(\omega)$是自相关函数$R_{x x}(\tau)=E\left[\boldsymbol{x}(t+\tau) \boldsymbol{x}^{*}(t)\right]$的傅里叶变换:

几点说明:

  • 由逆变换可得

  • 因为$R_{x x}(-\tau)=R_{x x}^{*}(\tau)$,所以$S_{x x}(\omega)$是实函数

  • 如果$\boldsymbol{x}(t)$是实数,那么$R_{x x}(\tau),S_{x x}(\omega)$为偶函数,并且也为实函数,此时

互功率谱

WSS过程$\boldsymbol{x}(t)$的交叉功率谱$S_{x y}(\omega)$是互相关函数$R_{x y}(\tau)=E\left[\boldsymbol{x}(t+\tau) \boldsymbol{y}^{*}(t)\right]$的傅里叶变换:

协方差谱

WSS过程$\boldsymbol{x}(t)$的协方差谱$S_{x x}^{c}(\omega)$是自协方差函数

的傅里叶变换:

注意到

所以

两个重要引理

引理1

给定任意非负可积函数$S(\omega)$,存在复WSS过程$\boldsymbol{x}(t)$,其功率谱为$S(\omega)$

证明:

构造复随机过程

其中

上述这点由能量恒等式得到。

$\omega$是随机变量,并且

$\varphi$服从$[-\pi, \pi)$上的均匀分布,并且与$\omega$独立。

引理2

给定任意非负可积偶函数$S(\omega)$,存在实WSS过程$\boldsymbol{x}(t)$,其功率谱为$S(\omega)$ 。

证明:

构造实随机过程

其中

上述这点由能量恒等式得到。

$\omega$是随机变量,并且

$\varphi$服从$[-\pi, \pi)$上的均匀分布,并且与$\omega$独立。

例子

考虑第三讲半随机电报信号的例子,即假设$\lambda(t)=\lambda$,定义:

之前已经推导过

因此

线性系统回顾

证明:

证明:

线性系统的转移函数

线性系统的功率谱由如下关系描述

其中

傅里叶变换的拓展

函数$g(t)$的傅里叶变换存在,如果$\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)| d t<\infty$,并且$g(t)$在每个有限区间只有有限个局部最大值,局部最小值,不连续点。

拓展的傅里叶变换,找到函数序列$g_n(t)$,该序列满足

$g_n(t)$可以进行傅里叶变换,对应的傅里叶变换为$G_n(\omega)$,定义$g(t)$的傅里叶变换为

例子:

那么

其中常数项$2\pi$是因为

希尔伯特变换

希尔伯特变换是指如下转移函数

希尔伯特变换的拓展逆傅里叶变换为

解析信号

复过程$z(t)=x(t)+j \hat{x}(t)$被称为实过程$\boldsymbol{x}(t)$的解析信号,其中$\hat{\boldsymbol{x}}(t)$是${\boldsymbol{x}}(t)$的希尔伯特变换。

对上述过程取傅里叶变换可得

Wiener-Khinchin定理

任意WSS过程$\boldsymbol{x}(t)$的功率谱是非负的。

证明:

假设$S_{x x}(\omega)$在区间$\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$为负数,定义

那么

这就产生了矛盾。

本文标题:台交大随机过程 Lecture 5

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2020年07月22日 - 12:04:00

最后更新:2020年07月25日 - 12:32:14

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