Digital Signal Processing 2 Filtering Week2

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这一讲介绍了Filter Design。

理想滤波器的近似

脉冲截断

  • 选择$ \omega_ {c} $
  • 计算理想脉冲响应$ h [n] $
  • 将$ h [n] $截断为$ \hat {h} [n] $
  • $\hat {h} [n] $定义了FIR滤波器

例子:

Gibbs现象

Gibbs现象是指在截断频率附加的误差为9%左右,和$N$无关,具体如下所示:

计算方法

这部分介绍如何计算,我们已知

我们的目标是计算

事实上我们有如下定理:

其中

为了证明

我们只要证明

直接利用定义即可:

频率采样

  • 绘制所需的频率响应$ H \left(e ^ {j \omega} \right)$
  • 在$ \omega_ {k} =(2 \pi / M)k $处取$ M $个值
  • 计算IDFT
  • 使用脉冲响应$ \hat {h} [n] $

实现滤波器

常系数差分方程(CCDE)

我们研究的对象为线性时不变系统,所以系统只涉及加法,常数乘法以及延迟,所以输出和输出的关系如下:

备注:$M$个输入和$N$个输出。

$z$-变换

定义$x[n]$的$z$变换为

不难看出

基本性质

线性性:

时移性:

系统转移函数

求解CCDE

对CCDE每一项作用$\mathcal Z$变换得到

对比($H$为响应函数)

我们得到

令$z=e^{j\omega}$即可得到频率响应。

应用

考虑Leaky Integrator

取$\mathcal Z$变换得到

所以

收敛区域和系统稳定性

收敛域(ROC)

考虑LTI系统的转移函数

它总能被分解为

  • $z_n$:转移函数的零点
  • $p_n$:转移函数的极点
  • 和ROC有关的只有极点
  • ROC从接触模长最大的圆开始往外延伸

注意到

所以系统稳定当且仅当ROC包含单位圆。

来看两个具体例子,图中点表示零点,叉表示极点。

稳定系统:

不稳定系统:

直观的滤波器

共振器
  • 用于检测给定频率的正弦波的存在
  • 在通信系统和电话(DTMF)中有用
  • 想法:改变Leaky Integrator的通带!

响应函数:

所以系统为

将$p$代入可得

图示如下:

其中参数为$\lambda=0.9, \omega_{0}=\pi / 3$

DC notch
DC removal

DC-balanced的信号有如下特点:

DC notch

DC notch的作用是使得不是满足DC-balanced的信号满足DC-balanced,

其响应函数为

所以系统为

图示如下:

Hum removal

Hum removal是指去除特定频率,其响应函数为

对于$\lambda=0.95$,图示如下:

本文标题:Digital Signal Processing 2 Filtering Week2

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2020年06月18日 - 22:26:00

最后更新:2020年06月28日 - 13:30:11

原始链接:http://doraemonzzz.com/2020/06/18/Digital Signal Processing 2 Filtering Week2/

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