Digital Signal Processing 2 Filtering Week1

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这一讲介绍了Digital Filters。

线性时不变系统

通用的信号处理系统:

公式如下:

线性性

线性性是指满足如下性质:

时不变性

时不变性是指满足如下性质:

线性时不变性(LTI)

线性时不变性是指同时满足线性性以及时不变性。

卷积

$x,h$的卷积定义为:

基本性质:

  • 线性性和时不变性
  • 交换性:$(x h)[n]=(h x)[n]$
  • 结合性:$((x h) w)[n]=(x (h w))[n]$

脉冲响应

脉冲响应为:

重要结果:脉冲响应完全刻画了LTI系统。

脉冲响应完全刻画了LTI系统

对恒等式

两边作用$\mathcal H$得到(利用线性性和时不变性)

滤波

滑动平均滤波

移动平均滤波考虑前$M$项的均值:

脉冲响应
递推式

对最后一个式子推广即得到Leaky integrator。

Leaky integrator

一般选择

脉冲响应

递推可得

推广可得

滤波稳定性

分类

有限脉冲响应(FIR)
  • 脉冲响应有紧支集
  • 每个输出样本的计算只涉及有限数量的样本

例如滑动平均。

无限脉冲响应(IIR)
  • 无紧支集
  • 每个输出样本的计算中涉及的样本数量可能是无限的
  • 在许多情况下,计算仍然可以在有限的步骤中执行

例如Leaky integrator。

causal
  • 对于$n <0$,脉冲响应为零
  • 每个输出样本的计算中仅涉及过去的样本(相对于现在)
  • causal滤波器可以“在线”运行,因为它们只需要过去的信息
noncausal
  • 对于某些(或全部)$n <0$,脉冲响应非零
  • 仍可以离线方式实现

稳定性

  • BIBO稳定性:输入有界,输出有界
稳定性基本定理

滤波是BIBO当且仅当脉冲响应绝对可和。

证明:

$\Rightarrow$

假设:

  • $|x[n]|<M$
  • $\sum_{n}|h[n]|=L<\infty$

结论:

  • $|y[n]|$有界

直接证明即可:

$\Leftarrow$

假设:

  • $|x[n]|<M $
  • $|y[n]|<P$

结论:

  • $h[n]$绝对可和

利用反证法:

假设

构造如下输入

显然$x[n]$有界,但是

各类脉冲的稳定性

  • FIR总是稳定的
  • Leaky integrator是稳定的

下面验证第二点:

这里的约束条件为

频率响应

频率响应

考虑特殊的输入:

计算可得:

所以:

  • 复指数是LTI系统的特征序列,即线性滤波器无法更改正弦波的频率(即$\omega_0$)
  • 脉冲响应的DTFT决定滤波器的频率特性

如果

那么

卷积定理

注意到

所以有两种效果:

  • 振幅:放大($\left|H\left(e^{j \omega}\right)\right|>1$)或衰减($\left|H\left(e^{j \omega}\right)\right|<1$)
  • 相位:整体延迟和形状变化

理想滤波

在频域划分滤波

  • 低通
  • 高通
  • 带通
  • 全通
理想低通

公式如下

做逆变换可得

上述脉冲响应没有紧支集,实际中很难使用。

sinc-rect对

对上述内容进行总结,首先定义

那么两者有如下关系

$\text{sinc}$不是绝对可和,所以理想低通滤波器不是BIBO稳定。

理想高通

公式如下

不难看出

其中lp表示是低通,取逆变换可得

带通

公式如下

不难看出

取逆变换可得

本文标题:Digital Signal Processing 2 Filtering Week1

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2020年06月18日 - 22:26:00

最后更新:2020年06月23日 - 14:56:20

原始链接:http://doraemonzzz.com/2020/06/18/Digital Signal Processing 2 Filtering Week1/

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