EE261 Lecture 5 and Lecture 6

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这次回顾第五讲和第六讲,这两讲介绍了傅里叶变换。

傅里叶变换

傅里叶变换是上一讲傅里叶序列的推广,可以处理非周期性的函数,其思路为,将非周期函数视为周期为无穷大。

现在考虑函数$f(t)$,假设当$|t| >\frac 1 2$时函数为$0$,将$f(t)$扩张为周期为$T$,其傅里叶系数为

估计上述系数

其中

注意到

注意非周期函数为$T\to \infty $的极限情形,所以如果按上述方式定义傅里叶序列,那么傅里叶系数都为$0$,现在考虑$Tc_n$,

令$s =\frac n T$,令$T\to \infty $得到

于是得到傅里叶变换,定义$f(t)$的傅里叶变换为

从$\hat f(s)$恢复$f(t)$

假设$f(t)$在某个区间外为$0$,现在考虑很大的周期$T$,使得$[-T / 2, T / 2]$包含全部非零值,将$f(t)$延拓成周期为$T$的函数,展开成傅里叶序列得到

那么

其中第二个等号是因为$f(t)$在$[-T / 2, T / 2]$以外的地方为$0$。带入等式可得

那么

令$T\to \infty $,所以

上式给出了傅里叶逆变换的定义。

在后续讨论之前,给出后续使用的记号:

傅里叶变换

$f(t)$的傅里叶变换为

傅里叶逆变换

$g(s)$的傅里叶逆变换为

例子

来看几个具体例子,首先定义

例 1

考虑函数

函数图像为

其傅里叶变换为

例 2

考虑函数

函数图像为

其傅里叶变换为

例 3

考虑单边指数函数

通过计算可得

例 4

考虑高斯函数

其傅里叶变换为

关于$s$求导得到

利用分部积分可得

所以$\mathcal F f(s)$满足如下微分方程

因此

但是

所以

本文标题:EE261 Lecture 5 and Lecture 6

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年06月30日 - 12:25:00

最后更新:2019年06月30日 - 12:31:30

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