EE261 Lecture 5 and Lecture 6

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这次回顾第五讲和第六讲，这两讲介绍了傅里叶变换。

傅里叶变换

傅里叶变换是上一讲傅里叶序列的推广，可以处理非周期性的函数，其思路为，将非周期函数视为周期为无穷大。

现在考虑函数$f(t)$，假设当$|t| >\frac 1 2$时函数为$0$，将$f(t)$扩张为周期为$T$，其傅里叶系数为

$$c_{n}=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} e^{-2 \pi i n t / T} f(t) d t=\frac{1}{T} \int_{-1 / 2}^{1 / 2} e^{-2 \pi i n t / T} f(t) d t$$

估计上述系数

$$\begin{aligned} \left|c_{n}\right| &=\frac{1}{T}\left|\int_{-1 / 2}^{1 / 2} e^{-2 \pi i n t / T} f(t) d t\right| \\ & \leq \frac{1}{T} \int_{-1 / 2}^{1 / 2}\left|e^{-2 \pi i n t / T}\right||f(t)| d t\\ &=\frac{1}{T} \int_{-1 / 2}^{1 / 2}|f(t)| d t\\ &=\frac{A}{T} \end{aligned}$$

其中

$$A=\int_{-1 / 2}^{1 / 2}|f(t)| d t$$

注意到

$$\lim_{T\to \infty} |c_n| \le \lim_{T\to \infty} \frac{A}{T} =0$$

注意非周期函数为$T\to \infty $的极限情形，所以如果按上述方式定义傅里叶序列，那么傅里叶系数都为$0$，现在考虑$Tc_n$，

$$(\text{Scaled transform of periodized }f )\left(\frac{n}{T}\right)=T c_{n}=\int_{-T / 2}^{T / 2} e^{-2 \pi i n t / T} f(t) d t$$

令$s =\frac n T$，令$T\to \infty $得到

$$\hat{f}(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t$$

于是得到傅里叶变换，定义$f(t)$的傅里叶变换为

$$\hat{f}(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t$$

从$\hat f(s)$恢复$f(t)$

假设$f(t)$在某个区间外为$0$，现在考虑很大的周期$T$，使得$[-T / 2, T / 2]$包含全部非零值，将$f(t)$延拓成周期为$T$的函数，展开成傅里叶序列得到

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{2 \pi i n t / T}$$

那么

$$\begin{aligned} c_{n} &=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} e^{-2 \pi i n t / T} f(t) d t\\ &=\frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i n t / T} f(t) d t\\ &=\frac{1}{T} \hat{f}\left(\frac{n}{T}\right)\\ &\triangleq\frac{1}{T} \hat{f}\left(s_{n}\right) \end{aligned}$$

其中第二个等号是因为$f(t)$在$[-T / 2, T / 2]$以外的地方为$0$。带入等式可得

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T} \hat{f}\left(s_{n}\right) e^{2 \pi i s_{n} t}$$

记

$$\Delta s =\frac 1 T$$

那么

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T} \hat{f}\left(s_{n}\right) e^{2 \pi i s_{n} t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}\left(s_{n}\right) e^{2 \pi i s_{n} t} \Delta s \approx \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(s) e^{2 \pi i s t} d s$$

令$T\to \infty $，所以

$$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(s) e^{2 \pi i s t} d s$$

上式给出了傅里叶逆变换的定义。

在后续讨论之前，给出后续使用的记号：

傅里叶变换：

$f(t)$的傅里叶变换为

$$\mathcal{F} f(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t$$

傅里叶逆变换

$g(s)$的傅里叶逆变换为

$$\mathcal{F}^{-1} g(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i s t} g(s) d s$$

例子

来看几个具体例子，首先定义

$$\operatorname{sinc} x=\frac{\sin \pi x}{\pi x}$$

例 1

考虑函数

$$\Pi(t)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {|t|<1 / 2} \\ {0} & {|t| \geq 1 / 2}\end{array}\right.$$

函数图像为

其傅里叶变换为

$$\begin{aligned} \mathcal F \Pi(t) &=\int_{-\infty} ^{\infty} e^{-2 \pi i s t} \Pi(t) dt\\ &= \int_{-\frac 1 2} ^{\frac 1 2} e^{-2 \pi i s t} dt\\ &=\frac{1}{-2\pi i s} \left( e^{-\pi is} -e^{\pi is} \right)\\ &=\frac{2i\sin \pi s}{2\pi i s}\\ &=\frac{\sin \pi s}{\pi s} \end{aligned}$$

例 2

考虑函数

$$\Lambda(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1-|x|} & {|x| \leq 1} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.$$

函数图像为

其傅里叶变换为

$$\begin{aligned} \mathcal{F} \Lambda(s) &=\int_{-\infty}^{\infty} \Lambda(x) e^{-2 \pi i s x} d x\\ &=\int_{-1}^{0}(1+x) e^{-2 \pi i s x} d x+\int_{0}^{1}(1-x) e^{-2 \pi i s x} d x \\ &=\left(\frac{1+2 i \pi s}{4 \pi^{2} s^{2}}-\frac{e^{2 \pi i s}}{4 \pi^{2} s^{2}}\right)-\left(\frac{2 i \pi s-1}{4 \pi^{2} s^{2}}+\frac{e^{-2 \pi i s}}{4 \pi^{2} s^{2}}\right) \\ &=-\frac{e^{-2 \pi i s}\left(e^{2 \pi i s}-1\right)^{2}}{4 \pi^{2} s^{2}}\\ &=-\frac{e^{-2 \pi i s}\left(e^{\pi i s}\left(e^{\pi i s}-e^{-\pi i s}\right)\right)^{2}}{4 \pi^{2} s^{2}} \\ &=-\frac{e^{-2 \pi i s} e^{2 \pi i s}(2 i)^{2} \sin ^{2} \pi s}{4 \pi^{2} s^{2}}\\ &=\left(\frac{\sin \pi s}{\pi s}\right)^{2}\\ &=\operatorname{sinc}^{2} s \end{aligned}$$

例 3

考虑单边指数函数

$$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {t \leq 0} \\ {e^{-a t}} & {t>0}\end{array}\right.$$

通过计算可得

$$\begin{aligned} \mathcal{F} f(s) &=\int_{0}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} e^{-a t} d t\\ &=\int_{0}^{\infty} e^{-2 \pi i s t-a t} d t \\ &=\int_{0}^{\infty} e^{(-2 \pi i s-a) t} d t\\ &=\left[\frac{e^{(-2 \pi i s-a) t}}{-2 \pi i s-a}\right]_{t=0}^{t=\infty} \\ &=\frac{e^{(-2 \pi i s) t}}{-2 \pi i s-a}\left.e^{-a t}\right|_{t=\infty}-\left.\frac{e^{(-2 \pi i s-a) t}}{-2 \pi i s-a}\right|_{t=0}\\ &=\frac{1}{2 \pi i s+a} \end{aligned}$$

例 4

考虑高斯函数

$$f(x)=e^{-\pi x^{2}}$$

其傅里叶变换为

$$\mathcal{F} f(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^{2}} e^{-2 \pi i s x} d x$$

关于$s$求导得到

$$\frac{d}{d s} \mathcal{F} f(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^{2}}(-2 \pi i x) e^{-2 \pi i s x} d x$$

利用分部积分可得

$$\begin{aligned} \frac{d}{d s} \mathcal{F} f(s) &=-\int_{-\infty}^{\infty} i e^{-\pi x^{2}}(-2 \pi i s) e^{-2 \pi i s x} d x \\ &=-2 \pi s \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^{2}} e^{-2 \pi i s x} d x \\ &=-2 \pi s \mathcal{F} f(s) \end{aligned}$$

所以$\mathcal F f(s)$满足如下微分方程

$$\frac{d}{d s} \mathcal{F} f(s)=-2 \pi s \mathcal{F} f(s)$$

因此

$$\mathcal{F} f(s)=\mathcal{F} f(0) e^{-\pi s^{2}}$$

但是

$$\mathcal{F} f(0)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^{2}} d x=1$$

所以

$$\mathcal{F} f(s)=e^{-\pi s^{2}}$$