EE261 Lecture 4

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这次回顾第四讲，这一讲讨论傅里叶序列的应用。

热方程

考虑热方程（通过变换将系数变为$\frac 12 $）

$$u_t=\frac{1}{2} u_{x x}$$

假设

$$u(x+1, t)=u(x, t)$$

将$u(x,t)$展开为傅里叶序列的形式得到

$$u(x, t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(t) e^{2 \pi i n x}$$

其中

$$c_{n}(t)=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i n x} u(x, t) d x$$

注意

$$\begin{aligned} u_t &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}'(t) e^{2 \pi i n x}\\ u_{xx} &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(t) e^{2 \pi i n x}(-4\pi^2 n^2) \end{aligned}$$

代入热方程得到

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}'(t) e^{2 \pi i n x}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(t) e^{2 \pi i n x}(-2\pi^2 n^2)$$

对比系数得到

$$c_{n}^{\prime}(t)=-2 \pi^{2} n^{2} c_{n}(t)$$

该常微分方程的解为

$$c_{n}(t)=c_{n}(0) e^{-2 \pi^{2} n^{2} t}$$

假设

$$u(x,0) =f(x)$$

其中

$$f(x+1)=f(x)$$

那么

$$\begin{aligned} c_{n}(0) &=\int_{0}^{1} u(x, 0) e^{-2 \pi i n x} d x \\ &=\int_{0}^{1} f(x) e^{-2 \pi i n x} d x\\ &=\hat{f}(n) \end{aligned}$$

所以

$$c_{n}(t)=\hat{f}(n) e^{-2 \pi^{2} n^{2} t}$$

因此热方程的通解为

$$u(x, t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n) e^{-2 \pi^{2} n^{2} t} e^{2 \pi i n x}$$

接下来对上式进行变形，将

$$\hat{f}(n)=\int_{0}^{1} f(y) e^{-2 \pi i n y} d y$$

代入上式可得

$$\begin{aligned} u(x, t) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi^{2} n^{2} t} e^{2 \pi i n x} \int_{0}^{1} f(y) e^{-2 \pi i n y} d y \\ &=\int_{0}^{1} \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi^{2} n^{2} t} e^{2 \pi i n(x-y)} f(y) d y \end{aligned}$$

如果记

$$g(x-y, t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi^{2} n^{2} t} e^{2 \pi i n(x-y)}$$

我们有

$$u(x, t)=\int_{0}^{1} g(x-y, t) f(y) d y$$

函数

$$g(x, t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi^{2} n^{2} t} e^{2 \pi i n x}$$

被称为格林函数。更一般的，积分

$$\int_{0}^{1} g(x-y) f(y) d y$$

被称为$f$和$g$的卷积。