EE263 Lecture 15 Linear dynamical systems with inputs and outputs

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这次回顾第十五讲,这一讲结束了带有输入输出的线性动力系统,介绍了对称矩阵的一些性质。

DC或静态收益矩阵

首先回顾转移函数$H(s)=C(s I-A)^{-1} B+D$,我们有如下结论:

  • 转移矩阵在$s=0$处为$H(0)=-C A^{-1} B+D \in \mathbb{R}^{m \times p}$

  • DC转移矩阵描述系统在静止条件下的情形,即$x,u,y$为常数:

    对上式消去$x$得到$y=H(0)u$

  • 如果系统稳定,回顾

    我们有

    如果$u(t) \rightarrow u_{\infty} \in \mathbb{R}^{m}$,那么

用分段常数输入离散化

考虑线性系统

假设$u_{d} : \mathbb{Z}_{+} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$是序列,以及

定义序列

  • $h>0$被称为采样间隔(对于$x,y$)或更新间隔(对于$u$)
  • $u$是分段常数(称为zero-order-hold)
  • $x_d,y_d$是$x,y$的采样版本

利用定义,我们有

所以$x_d,u_d,y_d$满足离散时间LDS方程

其中

该系统被称为离散化系统。

如果$A$可逆,那么积分项为

稳定性:如果$A$的特征值为$\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$,那么$A_d$的特征值为$e^{h \lambda_{1}}, \ldots, e^{h \lambda_{n}}$,离散化的系统保持稳定,因为对$h>0 $

扩展/变化

  • 偏移:对$u$的更新和$x,y$的采样在时间上有偏移
  • 多速率:使用不同间隔对$u_i$更新,$y_i$采样(通常是$h$的整数倍)

对偶系统

如下系统

的对偶系统为

  • 所有矩阵都转置
  • $B,C$的角色互换

对偶系统的转移函数为

其中

通过框图展示对偶性

在框图中,对偶性由如下事实体现:

  • 转置所有矩阵
  • 交换所有框的输入输出
  • 将信号流反向
  • 交换分支和求和点

具体如下:

Causality因果关系

对于$t\ge 0$,考虑下式的解释

当且状态$x(t)$和输出$y(t)$依赖于过去时间的输入$u(\tau),\tau \le t$

即,从输入映射到状态和输出是因果关系(对于固定的初始状态)

现在考虑固定的最终状态$x(T),t\le T$,

即,当前状态(和输出)依赖于未来的输入。

所以对于固定的最终状态,同一系统是反因果的。

状态的含义

$x(t)$被称为系统在$t$时刻的状态,因为:

  • 未来的输出只依赖于当且状态和未来的输入
  • 未来的输出仅取决于过去的输入,这些输入只能通过现状传递
  • 状态总结了过去的输入对未来的影响
  • 状态是过去输入和未来输出的桥梁

坐标变换

考虑LDS

利用$x=T \tilde{x}$将坐标改写为$\tilde x$,那么

因此LDS可以表示为

其中

转移矩阵不变:

LDS的标准形式

可以通过坐标变换将$A$变成不同形式(对角,实正规,约当…)

例如,为了将LDS变成对角形式,找到$T$,使得

那么

(这里假设$D=0$),框图为

离散时间系统

考虑离散时间系统:

框图为

  • 框图和连续时间不同之处只有将$s$替换为$z$
  • $z^{-1}$块的解释:
    • 单位延迟(将序列延迟个时间戳)
    • 锁存(latch)(增加小的延迟避免冲突)

在离散时间系统性,我们有

一般的,对于$t\in \mathbb Z^+$,

因此

其中*表示离散时间的卷积,以及

为脉冲响应。

$\mathcal{Z}$变换

假设$w \in \mathbb{R}^{p \times q}$是序列(离散时间信号),即

回顾$\mathcal{Z}$变换$W=\mathcal{Z}(w)$:

其中

($D$是$W$的定义域)

考虑时间提前或移位信号$v$:

时间提前信号的$\mathcal{Z}$变换为

离散时间转移函数

对系统方程使用$\mathcal Z$变换

得到

求解$X(z)$得到

因此

其中$H(z)=C(z I-A)^{-1} B+D$为离散时间转移矩阵。

注意resolvent的幂级数展开为

Lecture 15 对称矩阵,二次型,矩阵范数,SVD

对称矩阵的特征值

假设$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$为对称矩阵,即$A=A^T$,有如下事实:

  • $A$的特征值是实数

为了证明这点,假设$Av=\lambda v,v\neq 0, v\in \mathbb C^n$,那么

另一方面,我们有

所以$\lambda =\overline \lambda$,即$\lambda \in \mathbb R$,因此可以假设$v\in \mathbb R^n$

对称矩阵的特征向量

对称矩阵$A$存在一组正交特征向量,即存在$q_{1}, \dots, q_{n}$,使得

在矩阵形式下:存在正交矩阵$Q$,使得

因为可以将$A$表示为

特别的,$q_i$同时是$A$的左右特征向量。

解释

$A=Q \Lambda Q^{T}$的框图为

线性映射$y=Ax$可以分解为

  • 解析为$q_i$的坐标
  • 对坐标缩放$\lambda_i$
  • 用基$q_i$重建

或,几何上,

  • 用$Q^T$旋转
  • 使用$\Lambda$进行对角线缩放
  • 用$Q$旋转

如下分解

即将$A$表示为$1$维投影的线性组合。

正交性的证明

只证明$\lambda_i $都不同的情形,假设$v_{1}, \dots, v_{n}$是$A$的线性无关的特征向量,满足

所以我们有

因此

对于$i \neq j, \lambda_{i} \neq \lambda_{j}$,所以

  • 在该情形下,我们可以说:特征向量正交
  • 更一般的情形下($\lambda_i $可以相同),我们必须说:特征向量可以选择为正交

例子:RC电路

该系统满足

$G=G^{T} \in \mathbb{R}^{n \times n}$为电阻电路的电导矩阵,那么

其中

注意到$-C^{-1}G$不是对称矩阵。

使用状态

那么

其中

我们得到如下结论:

  • $-C^{-1 / 2} G C^{-1 / 2}$的特征值$\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$为实数(由相似性可得$-C^{-1} G$的特征值也为实数)

  • 特征向量$q_i$(在$x_i$坐标下)可以被选择为正交

  • 电压坐标下的特征向量$s_{i}=C^{-1 / 2} q_{i}$满足

    原因为

本文标题:EE263 Lecture 15 Linear dynamical systems with inputs and outputs

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年06月29日 - 12:29:00

最后更新:2019年06月29日 - 12:45:13

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